Question

Determine a PG de três elementos, que são números inteiros, sabendo que a soma deles é igual a 31 e a produto é 125.

Answer 1

Olá Juliana,

vamos expressar os termos da P.G. de uma forma genérica..

$P.G.\left( \dfrac{x}{q},x,qx\right)$

vamos então ao produto dos termos em P.G. que é igual a 125..

$\dfrac{x}{q}\cdot x\cdot qx=125~\therefore~ \dfrac{x}{\not q}\cdot x\cdot \not qx=125~\therefore~x^3=125~\therefore~x= \sqrt[3]{125}=5$

vamos agora com x encontrado, no produto entre os termos..

$\dfrac{5}{q}+5+5q=31~~(multiplica~o~termo~(q)~pelos~inteiros)\\\\ 5+q(5+5q)=31\cdot q\\ 5+5q+5q^2=31q\\ 5q^2-26q+5=0\\\\ \Delta=(-26)^2-4\cdot5\cdot5\\ \Delta=676-100\\ \Delta=576\\\\ q= \dfrac{-(-26)\pm \sqrt{576} }{2\cdot5}= \dfrac{26\pm24}{10}\begin{cases}q'=5\\\\ q''= \dfrac{1}{5} \end{cases}$

Agora substituímos q na P.G. genérica..

Para q=5

$P.G.=\left(\dfrac{x}{q},x,qx\right)\\\\ P.G.=\left( \dfrac{5}{5},5,5\cdot5\right)\\\\\\ \boxed{P.G.=(1,5,25)}\Rightarrow CRESCENTE$

Para q=1/5

$P.G.=\left( \dfrac{5}{ \dfrac{1}{5} },5,5\cdot \dfrac{1}{5}\right)\\\\\\ \boxed{P.G.=\left(25,5,1)}\Rightarrow DECRESCENTE$

Portanto os números em P.G. são: 1, 5 e 25


Tenha ótimos estudos ;D