Question

Determine a PG de 3 elementos que são números inteiros sabendo que a soma deles é igual a 31 e o produto é 125

Answer 1

Seja $\left(a_{1},\,a_{2},\,a_{3} \right )$ a progressão geométrica procurada. Pela fórmula do termo geral de uma P.G., cuja razão de crescimento é $q$

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$

Podemos expressar $a_{2}$ e $a_{3}$ em função de $a_{1}$:

$\bullet\;\;a_{2}=a_{1}\cdot q^{2-1}\\ \\ a_{2}=a_{1}\cdot q\\ \\ \\ \bullet\;\;a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1}\\ \\ \bullet\;\;a_{3}=a_{1}\cdot q^{2}$

Então, a P.G. procurada é

$\left(a_{1},\,a_{1}q,\,a_{1}q^{2} \right )$


Pelo enunciado, a soma dos elementos desta P.G. deve ser igual a $31$, e o produto deve ser igual a $125$. Então

$\bullet\;\;a_{1}+ a_{1}q+ a_{1}q^{2}=31\\ \\ a_{1}\cdot \left(1+q+q^{2} \right )=31\\ \\ \\ \bullet\;\;a_{1}\cdot a_{1}q\cdot a_{1}q^{2}\\ \\ a_{1}^{2}\cdotq^{3}=125\\ \\ \left(a_{1}\cdot q \right )^{3}=5^{3}\\ \\ a_{1}\cdot q=5$


Como $a_{1}$ e $q$ devem ser números inteiros, as únicas possibilidades de solução para esta última equação é

$a_{1}=1,\;\;q=5\;\;\text{ ou }\\ \\ a_{1}=5,\;\;q=1\;\;\text{ ou }\\ \\ a_{1}=-1,\;\;q=-5\;\;\text{ ou }\\ \\ a_{1}=-5,\;\;q=-1$


Testando cada uma destas quatro possibilidades na primeira equação, vemos que a única se satisfaz é

$a_{1}=1,\;\;q=5$

pois

$a_{1}\cdot \left(1+q+q^{2} \right )=31\\ \\ 1\cdot \left(1+5+5^{2} \right )=31\\ \\ 1\cdot \left(1+5+25 \right )=31\\ \\ 1\cdot 31=31$


Logo, a P;G; procurada é

$\left(1,\,1\cdot 5,\,1\cdot 5^{2} \right )\\ \\ \left(1,\,5,\,125 \right )$