Question

determine a parte real do número complexo z=(1+i) elevado a doze

Answer 1

Resposta:

z = 1+i

z^9= ?

Sabendo da forma algébrica, vamos atrás da forma trigonométrica. Primeiramente vamos achar o "a" e "b" de "z".

z = 1+i

Parte real (a) = 1

Parte imaginária (b) = 1

Sendo assim, vamos atrás do módulo de z (ρ):

ρ=√(a^2 + b^2)

ρ=√(1^2 + 1^2)=√(1 + 1)=√2

ρ=√2

Com o "ρ" podemos achar o valor do ângulo que pertence ao "z":

Senβ = a/ρ = 1/√2 = √2/2

Cosβ = b/ρ = 1/√2 = √2/2

Portando podemos afirmar que o valor de β é 45º ou π/4 radianos.

Sabendo do ângulo (β) e tendo o módulo de z (ρ) podemos achar o valor de z na forma trigonométrica. Assim:

z = ρ . cisβ

z = √2 . cis 45º

Mas a questão pediu o valor de z^9. Dessa forma, vamos achar o valor, só basta lembrar da forma da potência de um complexo "z" quando está na forma trigonométrica. Assim sendo:

z^n = ρ^n . (cisβ)^n

z^9 = ρ^9 . (cisβ)^9

z^9 = (√2)^9 . (cis 45º)^9

z^9 = (√2)^9 . cis 9 . 45º

z^9 = (√2)^9 . cis 405º      *OBS: 405º = 45º

z^9 = (√2)^9 . cis 45º

z^9 = (√2)^9 . [Cos 45º + i . Sen 45º]

z^9 = (√2)^9 . [√2/2 + i . √2/2]

z^9 = (√2)^9 . √2/2 + (√2)^9 . i . √2/2

z^9 = [(√2)^10]/2 + i . [(√2)^10]/2

z^9 = (√2^10)/2 + i . (√2^10)/2

z^9 = (2^5)/2 + i . (2^5)/2

z^9 = 2^4 + i . 2^4

z^9 = 16 + i . 16

Parte real (a') = 16

Parte imaginária (b') = 16

Espero ter ajudado!