Question

Determine a P.G de três termos, o produto dos termos é 1/8 e a soma dos dois primeiros termos é 2. Qual é a P.G?

Obs.: Se possível resolver usando a forma genérica da P.G.

Answer 1

Olá

Podemos usar duas fórmulas para o cálculo

$\boxed{\boxed{\displaystyle{Produto~dos~\mathbf{n}~ termos:~P_n=\sqrt[2]{(a_1\cdot a_n)^n}}}}\\\\\\ \boxed{\boxed{\displaystyle{Termo~geral~da~P.G:~a_n=a_1\cdot q^{n-1}}}}$

Sabendo que esta progressão geométrica tem três termos, podemos substituir o valor de

$\displaystyle{n = 3}$

Substitua

$\displaystyle{P_3=\sqrt[2]{(a_1\cdot a_3)^{3}}}=\dfrac{1}{8}}$

Sabendo que
$\displaystyle{a_3=a_1\cdot q^{2}}$

Tem-se que

$\displaystyle{P_3=\sqrt[2]{(a_1\cdot a_1\cdot q^2)^3}=\dfrac{1}{8}}$

Multiplicando os valores

$\displaystyle{P_3=\sqrt[2]{({a_1}^{2}q^2)^3}=\dfrac{1}{8}}$

Simplifique o radicando elevado ao expoente igual ao índice da raiz

$\displaystyle{P_3=(a_1q)^3=\dfrac{1}{8}}$

Utilize a operação inversa a potência em ambos os termos

$\displaystyle{P_3=\sqrt[3]{(a_1q)^3}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}}$

Lembre-se da propriedade dos radicais

$\boxed{\boxed{\displaystyle{\sqrt[n]{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}}}}$

Aplique a propriedade

$\displaystyle{P_3=a_1q=\dfrac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}}$

Simplifique os radicais

$\displaystyle{P_3=a_1q=\dfrac{1}{2}}$

Isole o termo $\displaystyle{\mathbf{a_1}}$

Divida ambos os termos por um fator $\displaystyle{\mathbf{q}}$

$\displaystyle{P_3=\dfrac{a_1q}{q}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{q}}$

Aplique a propriedade para frações complexas

$\boxed{\boxed{\displaystyle{\dfrac{\left(\dfrac{a}{b}\right)}{c}=\dfrac{a}{b\cdot c}}}}\\\\\\ \displaystyle{P_3=a_1=\dfrac{1}{2q}}$

Agora, utilize o outro dado do enunciado

$\displaystyle{a_1+a_2=2}$

Fazendo o mesmo que fez com o termo $\displaystyle{\mathbf{a_3}}$, saiba que

$\displaystyle{a_2=a_1\cdot q}$

Então, substitua-o na soma

$\displaystyle{a_1+a_1q=2}$

Fatore a expressão por fator comum em evidência

$\displaystyle{a_1\cdot(1+q)=2}$

Substitua o valor do termo $\displaystyle{\mathbf{a_1}}$, isolado anteriomente, nesta expressão

$\displaystyle{\dfrac{1}{2q}\cdot(1+q)=2}$

Multiplique os valores

$\displaystyle{\dfrac{1+q}{2q}=2}$

Multiplique ambos os lados da equação por um fator $\displaystyle{\mathbf{2q}}$

$\displaystyle{\dfrac{1+q}{2q}\cdot 2q=2\cdot 2q}$

Simplifique a expressão

$\displaystyle{1+q = 4q}$

Isole o termo $\displaystyle{\mathbf{q}}$, mudando sua posição e alterando seu sinal

$\displaystyle{1=4q-q}$

Reduza os termos semelhantes

$\displaystyle{1=3q}$

Divida ambos os valores por um fator $\displaystyle{\mathbf{3}}$

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}=\dfrac{3q}{3}}\\\\\\ \displaystyle{q=\dfrac{1}{3}}$

Agora, substitua o valor numérico do termo $\displaystyle{\mathbf{q}}$ na expressão do termo $\displaystyle{\mathbf{a_1}}$

$\displaystyle{a_1=\dfrac{1}{2\cdot \dfrac{1}{3}}}$

Multiplique os valores

$\displaystyle{a_1=\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}}$

Use a propriedade para frações complexas

$\boxed{\boxed{\displaystyle{\dfrac{a}{\left(\dfrac{c}{d}\right)}=\dfrac{a\cdot d}{c}}}}\\\\\\ \displaystyle{a_1=\dfrac{3}{2}}$

Agora, usando a fórmula do termo geral, encontre os outros termos da progressão

Termo $\displaystyle{\mathbf{a_2}}$

$\displaystyle{a_2=a_1\cdot q}\\\\\\ \displaystyle{a_2=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{3}}\\\\\\ \displaystyle{a_2=\dfrac{1}{2}}$

Termo $\displaystyle{\mathbf{a_3}}$

$\displaystyle{a_3=a_1\cdot q^2}\\\\\\ \displaystyle{a_3=\dfrac{3}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^2}\\\\\\ \displaystyle{a_3=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{9}}\\\\\\ \displaystyle{a_3=\dfrac{1}{6}}$

Logo, os termos desta progressão de três termos são

$\boxed{\displaystyle{\left\{\dfrac{3}{2},~\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{6}\right\}}}$