Question

Determine a ordenada do ponto P(5,y) para que a distância ao ponto A(1,3) seja √13

Answer 1

Primeiro, a fórmula da distancia entre dois pontos no plano cartesiano: 
D = sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)

sqrt = square root = função raiz quadrada

A = (x1,y1) = (1,3)
P = (x2,y2) = (5,y)

Na fórmula:
sqrt(13) = sqrt((5-1)^2+(y-3)^2)
Blz, uma igualdade, podemos elevar os dois lados ao quadrado e remover a raiz, vou também girar:
(5-1)^2+(y-3)^2 = 13
Ficou mais comestivel, só resolver:
16+(y-3)^2 = 13

Vamos separar essa criança aqui e resolver conhecendo a propriedade distributiva que diz:
(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2+ab+ab+b^2 = a^2+2ab+b^2
A criança:
(y-3)^2 = (y-3)(y-3) = y^2-3y-3y+9 = y^2-6y+9
Vamos devolver a criança:
16+(y-3)^2 = 13
16+y^2-6y+9=13

Vamos passar os coeficientes livres todos pro lado esquerdo e somar:
y^2-6y+9+16-13=0
y^2-6y+12=0

Equação de segundo grau, Bhaskara:
(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/2*a

(-(-6)+-sqrt(-6^2-4*1*12))/2*1
(6+-sqrt(36-48))/2
(6+-sqrt(-12))/2
Como podemos observar vamos ter uma raiz negativa, significa dizer que não existe resposta em números reais. No conjunto dos imaginários ela ficaria, ciente da regra sqrt(-x) = sqrt(x*i))

y' = (6+sqrt(-12))/2 = (6+sqrt(12i))/2 = (6+2sqrt(3i))/2 = (2(3+1sqrt(3i)))/2= (3+1sqrt(3i)) = 3+sqrt(3i)
y'' = (6-sqrt(-12))/2 = (6-sqrt(12i))/2 = (6-2sqrt(3i))/2 = (2(3-1sqrt(3i)))/2= (3-1sqrt(3i)) = 3-sqrt(3i)

Se voltarmos a fórmula podemos visualizar o ponto aonde ela desanda:
sqrt(13) = sqrt((5-1)^2+(y-3)^2)
(5-1)^2+(y-3)^2 = 13
16+(y-3)^2 = 13
(y-3)^2 = 13-16
(y-3)^2 = -3
Perceba aqui, qual número real que elevado a um expoente par será negativo ? Nenhum.