Question

Determine a ordenada do centro de massa de uma lâmina que tem a forma definida por R = { ( x , y ) / 0 ≤ y ≤ 1 e − 1 ≤ x ≤ 1 } e uma densidade de massa dada por
δ ( x , y ) = x 2 y .
(Ref.: 202106165368)
1 /3
2 / 3
1 / 5
3 / 2
2 / 5

Answer 1

Resposta:

$y=\dfrac{2}{3}$

Explicação passo a passo:

Como queremos só a ordenada do centro de massa, temos que ela é dada por

$y=\dfrac{\displaystyle\int\int_Rx\,\delta(x,y) dA}{\displaystyle\int\int_R\delta(x,y)dA}$

Calculo de $\displaystyle\int\int_Rx\,\delta(x,y) dA$

Como nossa região é um retângulo

$\displaystyle\int_0^1\int_{-1}^1x^2y^2\, dxdy=\int_0^1 \Bigg. \dfrac{x^3y^2}{3}\Bigg|_{-1}^1dy=\int_0^1 \dfrac{y^2}{3}+\dfrac{y^2}{3}=\int_0^1\dfrac{2y^2}{3}dy\\\\=\Bigg. \dfrac{2y^3}{9}\Bigg|_0^1=\dfrac{2}{9}\\\\\\\Rightarrow \boxed{ \displaystyle\int\int_Rx\,\delta(x,y) dA=\dfrac{2}{9}}$

• Calculo de $\displaystyle\int\int_R\delta(x,y) dA$

Assim como na integral anterior, temos um retângulo, logo

$\displaystyle\int_0^1\int_{^-1}^{1} x^2y\, dxdy=\int_0^1\Bigg. \dfrac{x^3y}{3}\Bigg|_{-1}^{1}dy=\int_0^1\dfrac{y}{3}+\dfrac{y}{3}dy=\int_)^1\dfrac{2y}{3}dy\\\\\\=\dfrac{y^2}{3}\Bigg|_0^1=\dfrac{1}{3}\\\\\\\Rightarrow \boxed{\displaystyle\int\int_R\delta(x,y) dA=\dfrac{1}{3}}$

Portanto, nossa ordenada y vai ser

$y=\dfrac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{3}}\Rightarrow\boxed{y=\dfrac{2}{3}}$