Question

determine :
a) o  quarto termo de (x+2)^7


b) o setimo termo de (2x+1)^8

Answer 1

O $(k+1)$-ésimo termo do desenvolvimento de $\left(a+b \right )^{n}$ é dado por

$t_{k+1}=\binom{n}{k}a^{n-k}\,b^{k}$

com $k=0..n$;

e $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k! \cdot \left(n-k \right )!}$ é o coeficiente binomial.

Assim, temos um total de $n+1$ termos neste desenvolvimento.


a) o quarto termo de $\left(x+2 \right )^{7}$:

$a=x\\ \\ b=2\\ \\ n=7\\ \\ k+1=4 \Rightarrow k=3$


O quarto termo é

$t_{4}=\binom{7}{3}x^{7-3} \cdot 2^{3}\\ \\ =\frac{7!}{3! \cdot \left(7-3 \right )!} \cdot x^{4} \cdot 8\\ \\ =\frac{7!}{3! \cdot 4!} \cdot x^{4} \cdot 8\\ \\ =\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} \cdot x^{4} \cdot 8\\ \\ =\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^{4} \cdot 8\\ \\ =35 \cdot x^{4} \cdot 8 \Rightarrow \boxed{t_{4}=280x^{4}}$


b) o sétimo termo de $\left(2x+1 \right )^{8}$:

$a=2x\\ \\ b=1\\ \\ n=8\\ \\ k+1=7 \Rightarrow k=6$


O sétimo termo é

$t_{7}=\binom{8}{6}\left(2x \right )^{8-6}\cdot 1^{6}\\ \\ =\frac{8!}{6! \cdot \left(8-6 \right )!}\cdot \left(2x \right )^{2} \cdot 1^{6}\\ \\ =\frac{8!}{6! \cdot 2!}\cdot 4x^{2}\cdot 1\\ \\ =\frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 2 \cdot 1} \cdot 4x^{2}\\ \\ =\frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \cdot 4x^{2}\\ \\ =28 \cdot 4x^{2} \Rightarrow \boxed{t_{7}=112x^{2}}$