Question

Determine a meia-vida de uma substância radioativa considerando que
uma amostra dessa substância perde 1/3 de sua massa original em 12 dias.

Answer 1

Consideremos $t$ o tempo (em dias), e $m\left(t)$ a função que representa a massa da substãncia radioativa após ter se passado $t$ dias.

No início, quando $t=0$, temos que a massa original é

$m\left(0 \right )=m_{0}$


A função de decaimento radioativo é uma função exponencial decrescente, que possui a forma

$m(t)=m_{0}\cdot e^{k t}$

(onde $e$ é a base neperiana, ou o número de Euler; é um número irracional cujo valor aproximado é $2,718$)
 

De acordo com o enunciado, após $12$ dias, a substância perde $\dfrac{1}{3}$ de sua massa original. Logo, podemos escrever

para $t=12$

$m(12)=m_{0}-\dfrac{1}{3}\cdot m_{0}\\ \\ m_{0}\cdot e^{k\cdot 12}=m_{0}\cdot \left(1-\dfrac{1}{3} \right )\\ \\ \diagup\!\!\!\!\! m_{0}\cdot e^{k\cdot 12}=\diagup\!\!\!\!\! m_{0}\cdot \left(\dfrac{3-1}{3} \right )\\ \\ e^{12k}=\dfrac{2}{3}\\ \\ 12k=\mathrm{\ell n}\left(\dfrac{2}{3} \right )\\ \\ \\ 12k=\mathrm{\ell n\,}(2)-\mathrm{\ell n\,}(3)\\ \\ \\ k=\dfrac{\mathrm{\ell n\,}(2)-\mathrm{\ell n\,}(3)}{12}$

Com o auxílio de uma calculadora ou planilha, podemos calcular os valores aproximados dos logaritmos, e temos

$\mathrm{\ell n}(2) \approx 0,693\\ \\ \mathrm{\ell n}(3) \approx 1,099$


Logo, o valor aproximado do coeficiente $k$ é

$k \approx \dfrac{0,693-1,099}{12}\\ \\ k \approx -0,034\mathrm{\;\;\left(dia^{-1} \right )}$


A meia-vida é o valor de $t$, para o qual a massa neste instante é igual à metade da massa inicial. Ou seja,

$m(t)=\dfrac{1}{2}\cdot m_{0}\\ \\ \diagup\!\!\!\!\! m_{0}\cdot e^{kt}=\dfrac{1}{2}\cdot \diagup\!\!\!\!\! m_{0}\\ \\ e^{kt}=\dfrac{1}{2}\\ \\ kt=\mathrm{\ell n}\left(\dfrac{1}{2} \right )\\ \\ \\ kt=-\mathrm{\ell n}(2)\\ \\ t=\dfrac{-\mathrm{\ell n\,}(2)}{k}\\ \\ t=-\mathrm{\ell n\,}(2)\cdot \dfrac{1}{k}\\ \\ t=-\mathrm{\ell n\,}(2)\cdot \dfrac{12}{\mathrm{\ell n\,}(2)-\mathrm{\ell n\,}(3)}\\ \\ \\ t=\dfrac{-12\mathrm{\,\ell n}(2)}{\mathrm{\ell n\,}(2)-\mathrm{\ell n\,}(3)}$


Logo, o valor aproximado para a meia-vida é

$t =\dfrac{-12\cdot 0,693}{0,693-1,099}\\ \\ t \approx 20,5\text{ dias}$