Question

Determine a medida dos lados do triângulo sabendo que ele é equilátero.

Determine o retângulo de maior área contido neste triângulo sabendo que sua base está sobre o eixo das abcissas.

Para entender o exercício abra a imagem que está em anexo.

Answer 1

→ A equação $r \ : \ y = - \sqrt{3}.x + 2 \sqrt{3}$ representada na sua figura pela linha azul junto com uma outra reta qualquer delimitam um triângulo equilátero . 

→ Como temos que os vértices desse triângulo situam-se sobre o eixo. Então as coordenadas são $A( x_A , 0 )$ e $B ( 0 , y_B)$ . As demais coordenadas desses vértices podem ser obtidas através da reta r .
→ Olhar anexo ( 1 ) :

$y_A = - \sqrt{3}.x_A + 2 \sqrt{3}$
$0 = - \sqrt{3}.x_A + 2\sqrt{3}$
$\sqrt{3} .x_A = 2\sqrt{3}$
$x_A = 2$

$y_B = -\sqrt{3}.x_B + 2\sqrt{3}$
$y_B = -\sqrt{3} .(0) +2\sqrt{3}$
$y_B = 2\sqrt{3}$

→ Logo as coordenadas do pontos são : $A(2, 0 )$ e $B ( 0 , 2\sqrt{3} )$

→ Os lados desse triângulo podem ser obtidos através da equação da distância de dois pontos :

$d_(_A_B_) = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$
$d_(_A_B_) = \ \sqrt{(2-0)^2+(0-2 \sqrt{3})^2 }$
$d_(_A_B_) = \sqrt{4+12}$
$d_(_A_B_) = 4$

→ Como a $d_(_A_B_)$ representa o lado desse triângulo , então temos que o lado mede 4 u.m ( unidade de medida )

→ Na sua figura temos duas retas uma é a reta r ,a outra irei chamá-la de s ( olhar anexo 2 ) . Como ambas as retas delimitam um triângulo equilátero então temos $C ( x_C , 0 )$ como um vértice. A distância entre o ponto A e o semi-eixo Oy é 2 , então teríamos que a distância de C até o mesmo eixo valeria também 2 , visto que $d_(_A_C_)$ representa um lado da figura.

→ O que eu estou tentando mostrar ( nessa bagunça que eu escrevi acima ) seria uma propriedade de simetria produzida pelo eixo Oy na figura . Ao desenhar um retângulo qualquer  nessa figura teríamos que metade dele se encontra no primeiro quadrante e a outra metade do segundo quadrante .

→. Eu ilustrei o retângulo qualquer  nessa figura e seu respectivos vértice (olhar anexo ( 3 ) ) . Por se tratar de um triângulo equilátero , aplicarei a propriedade simetria nele também por isso temos as coordenadas $P(x, 0 )$ e $N ( -x , 0 )$ com sinais contrários .

→ A área do retângulo :

$A = b . h$

→ Perceba que a altura pode ser obtida por :

$h = y_Q - y_P$
$h = y - 0$
$h = y$

→ A base pode :

$b = x_P - x_N$
$b = x - ( - x)$
$b = 2x$


→ Substituindo essas expressões na fórmula da área , temos :

$A = 2x . y$

→ Dessa maneira eu coloquei a expressão que fornece a área do retângulo em função das coordenadas x e y . Agora através da equação da reta r , irei por y em função de x. Porque analisando o vértice P e Q temos que ambos possuem a mesma coordenada x , e como Q pertence a reta r irei por a sua ordenada y em função de x.

$A = 2x . (-\sqrt{3}.x+2\sqrt{3)}$
$A = -2 \sqrt{3}.x^2 + 4 \sqrt{3} .x$

→ A área máxima desse retângulo ocorrera quando a ordenada da parabola for o vértice , logo :

$Y_v = \frac{-\Delta}{4a}$
$Y_v = \frac{- (-4 \sqrt{3})^2 }{4.(2 \sqrt{3}) }$
$Y_v = \frac{-16.(3)}{-8 \sqrt{3} }$
$Y_v = \frac{2.(3)}{ \sqrt{3} } . \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }$
$Y_v = 2 \sqrt{3}$

→ A área máxima é $2 \sqrt{3}$