Question

Determine a medida dos ângulos internos e externos de um polígono convexo que tem 65

diagonais

Answer 1

1) Determinando o número de lados (n)  do polígono convexo que tem 65 diagonais:

$d= \dfrac{n \cdot (n-3)}{2} \\ \\ 65 = \dfrac{n \cdot (n-3)}{2} \\ \\ 65 \cdot 2 = n^2-3n \\ \\ 130=n^2-3n \\ \\ n^2-3n-130=0 \\ \\ n= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c} }{2 \cdot a} \\ \\ n= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-130)} }{2 \cdot 1} \\ \\ n= \dfrac{+3 \pm \sqrt{9+520} }{2} \\ \\ n= \dfrac{+3 \pm \sqrt{529} }{2} \\ \\ n= \dfrac{+3 \pm 23 }{2} \\ \\ n_1 = \dfrac{+3 + 23 }{2}= 13 \\ \\ n_2= \dfrac{+3-23 }{2} = -10$

Logo, o poligono é um tridecágono (n=13 lados).

2) Calculando  a soma dos ângulos internos ($S_i$):

$S_i = (n - 2) \cdot 180^{\circ} \\ \\ S_i = (13 - 2) \cdot 180^{\circ} \\ \\ S_i = 11 \cdot 180^{\circ} \\ \\ S_i = 1980^{\circ}$

3) Calculando o valor de cada ângulo interno ($a_i$):

$a_i = \dfrac{S_i}{n} =\dfrac{1980^{\circ}}{13} \simeq 152,30^{\circ}$

4) Calculando  a soma dos ângulos externos ($S_e$):

$S_e = 360^{\circ}$

5) Calculando o valor de cada ângulo externo ($a_e$):

$a_e = \dfrac{S_e}{n} =\dfrac{360^{\circ}}{13} \simeq 27,69^{\circ}$




Bons estudos!