Question

determine a medida do raio da circunferencia cuja equação geral é x²+y²+6x+4y-12=0

Answer 1

Para determinar o raio é bastante simples, basta utilizar a fórmula:

$\boxed{a^{2}+b^{2}-R^{2} = termo \ independente}$

As letras "a" e "b" são nada mais nada menos que as coordenadas do centro desta circunferência. Para acha-los, basta igualar -2a ao termo acompanhado do "x", e -2b ao termo acompanhado do "y".

$-2a=6 \\\\ a = \frac{6}{-2} \\\\ \boxed{a =-3} \\\\\\ -2b = 4 \\\\ b = \frac{4}{-2} \\\\ \boxed{b = -2}$

Pronto, agora substituímos:

$a^{2}+b^{2}-R^{2} = termo \ independente \\\\ (-3)^{2}+(-2)^{2}-R^{2} = -12 \\\\ 9+4-R^{2} = -12 \\\\ 13-R^{2} = -12 \\\\ R^{2} = 13+12 \\\\ R^{2} = 25 \\\\ R =\sqrt{25} \\\\ \boxed{\boxed{R=5}}$

Answer 2

Temos a equação geral, precisamos encontrar os pontos da circunferência, para assim, encontrarmos o raio.

Para encontramos o "a", veremos o número acompanhado de X na equação, e igualaremos a da equação geral de uma reta, veja:

$(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2\\\\ x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2 = 0\\\\\ x^2+y^2+a^2+b^2-2ax-2by-r^2=0$

Portanto, vimos que na equação geral da reta, o número acompanhado de x é -2a e o de y é -2b.

$6 = -2a\\\\ a=-\frac{6}{2}\\\\ \boxed{a=-3}\\\\\ 4 = -2b\\\\ b=-\frac{4}{2}\\\\ \boxed{b=-2}$

Pronto, agora os pontos são C(-3,-4), agora, para encontrar o raio, usamos a fórmula baseada na equação geral:

$a^2+b^2-r^2 = -12\\\\ (-3)^2+(-2)^2-r^2 = -12\\\\\ 9+4-r^2 = -12\\\\ -r^2 = -12-13\\\\ -r^2=-25\\\\\ r^2 = 25\\\\ \boxed{r=5}$