Question

Determine a medida do ângulo θ da figura abaixo. Em seguida, calcule a área do triângulo.

Answer 1

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Para esta tarefa, usaremos a Lei dos Cossenos.

Considere um triângulo qualquer cujos lados medem  a,  b  e  c.  Assuma que os lados  a  e  b formam um ângulo  θ  entre si.  Vale a seguinte relação:

     c² = a² + b² – 2ab · cos θ


Para esta tarefa, temos

     •   a = 8 cm;

     •   b = 9 cm;

     •   c = 7 cm.


Logo, devemos ter

     7² = 8² + 9² – 2 · 8 · 9 · cos θ

     49 = 64 + 81 – 144 · cos θ

     144 · cos θ = 64 + 81 – 49

     144 · cos θ = 96

                       96
     cos θ  =  ———
                      144

Simplificando a fração, dividindo o numerador e o denominador por 48,

                      2
     cos θ  =  ——
                      3

     θ = arccos(2/3)


     θ ≈ 48,19°          ✔

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Para o cálculo da área, usamos outra relação.

Em um triângulo qualquer,  se dois lados medem  a  e  b, e o ângulo formado por esses lados é  θ,  a área do triângulo é
 
                1
     A  =  ——  ·  ab · sen θ
                2
 

Para o triângulo dado, a área é
 
                1
     A  =  ——  · 8 · 9 · sen[ arccos(2/3) ]
                2
 

Mas  sen(arccos t) = √(1 – t²),  para todo  t ∈ [–1,  1]:

               1
     A  =  ——  ·  72 · √[ 1 – (2/3)² ]
               2
 
     A = 36 · √[ 1 – (4/9) ]

     A = 36 · √(5/9)
 
                36 · √5
     A  =  —————
                    3

     A = 12√5  cm²
 
     A ≈ 26,83 cm²          ✔


Bons estudos! :-)