Question

determine a medida da mediana AM do triângulo A (-3,4), B(1,5) e C(-3,-1).

(Preciso de resolução, por favor, só responda se souber resolver!).​

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, podemos concluir que a medida do segmento $\bf\overline{AM}$ conhecido por Mediana, é igual a $\bf\sqrt{8}$.

Explicação

Temos os seguintes dados:

$\bf A (-3,4), \: B (1,5) \: \: e \: \: C(-3,-1)$

O objetivo da questão é determinar a medida do segmento $\bf\overline{AM}$. conhecido por mediana.

• Mediana:

Para iniciarmos os cálculos, devemos primeiro relembrar o que é a Mediana.

• Mediana é segmento de reta que parte de um dos vértices do triângulo e se estende até alcançar o ponto médio do lado oposto ao vértice de partida.

Portanto, podemos ver que a mediana $\overline{AM}$ buscada na questão, possui o ponto de partida sendo o vértice A e o ponto final sendo o ponto médio M, que é basicamente o ponto médio entre B e C.

• Ponto médio:

Assim como foi feito para a mediana, devemos fazer uma breve introdução da definida de ponto médio.

• Como próprio nome diz, é basicamente uma média, sendo esta realizada com as abscissas e ordenadas dos pontos a qual se quer descobrir o ponto médio.

A relação para calculá-lo é dada por duas fórmulas análogas, uma para x e outra para y.

$X_m = \left(\frac{x_a+x_b}{2}\right) \: \: e \: \: Y_m = \left(\frac{y_a+y_b}{2}\right)$

Agora que sabemos a relação para determiná-lo e o seu significado, vamos encontrar o ponto médio M, isto é o ponto médio de B e C. Antes disto, vamos apenas organizar os dados.

$\begin{cases} B(1,5)\to x_b = 1 \: \: e \: \: y_b = 5 \\ C(-3,-1) \to x_c = - 3 \: \: e \: \: y_c = - 1 \end{cases}$

Substituindo os dados na fórmula:

$X_m = \left(\frac{x_b+x_c}{2}\right) \: \: e \: \: Y_m = \left(\frac{y_b+y_c}{2}\right) \\ \\ X_m = \left(\frac{1 - 3}{2}\right) \: \: e \: \: Y_m = \left(\frac{5 - 1}{2}\right) \\ \\ X_m = \left( - \frac{2}{2}\right) \: \: e \: \: Y_m = \left( \frac{4}{2}\right) \\ \\ \boxed{\bf X_m = - 1 \: \: e \: \: Y_m = 2}$

Portanto, consolidamos que o ponto médio entre B e C é dado por $\bf M(-1,\:2)$.

• Distância entre dois pontos:

Como a questão pede a medida da mediana, devemos determinar a magnitude deste segmento, para isto basta utilizar a distância entre dois pontos. Para isso usaremos a fórmula abaixo:

$\bf d_{A,M}=\sqrt{(x_m-x_a)^2+(y_m-y_a)^2}$

Antes de substituir os dados na fórmula, vamos mais uma vez organalizá-los.

$\begin{cases} A (-3,4)\to x_a = - 3 \: \: e \: \: y_a = 4 \\ M( - 1,2) \to x_M = - 1 \: \: e \: \: y_M = 2 \end{cases}$

Substituindo os dados na fórmula:

$d_{A,M}=\sqrt{( - 3 - (-1))^2+(4-2)^2} \\ \\ d_{A,M}=\sqrt{( - 2)^2+(2)^2} \\ \\ \boxed{ \bf d_{A,M} = \sqrt{8} }$

Espero ter ajudado

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