Question

Determine a medida da maior aresta de um paralelepípedo retângulo de 6 cm de altura, área total igual a 432cm² é volume 576cm³.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Sejam $\sf x~e~y$ as dimensões desconhecidas desse paralelepípedo

=> Área total

$\sf A_t=2\cdot(ab+ac+bc)$

$\sf 2\cdot(6x+6y+x\cdot y)=432$

$\sf 6x+6y+x\cdot y=\dfrac{432}{2}$

$\sf 6x+6y+x\cdot y=216$

=> Volume

$\sf V=a\cdot b\cdot c$

$\sf 6\cdot x\cdot y=576$

$\sf x\cdot y=\dfrac{576}{6}$

$\sf x\cdot y=96$

Substituindo em $\sf 6x+6y+x\cdot y=216$:

$\sf 6x+6y+x\cdot y=216$

$\sf 6x+6y+96=216$

$\sf 6x+6y=216-96$

$\sf 6x+6y=120$

$\sf x+y=20$

Podemos montar o sistema:

$\sf \begin{cases} \sf x+y=20 \\ \sf x\cdot y=96 \end{cases}$

Da primeira equação:

$\sf x+y=20$

$\sf x=20-y$

Substituindo na segunda equação:

$\sf x\cdot y=96$

$\sf (20-y)\cdot y=96$

$\sf 20y-y^2=96$

$\sf y^2-20y+96=0$

$\sf \Delta=(-20)^2-4\cdot1\cdot96$

$\sf \Delta=400-384$

$\sf \Delta=16$

$\sf y=\dfrac{-(-20)\pm\sqrt{16}}{2\cdot1}=\dfrac{20\pm4}{2}$

$\sf y'=\dfrac{20+4}{2}~\Rightarrow~y'=\dfrac{24}{2}~\Rightarrow~\red{y'=12}$

$\sf y"=\dfrac{20-4}{2}~\Rightarrow~y"=\dfrac{16}{2}~\Rightarrow~\red{y"=8}$

=> Para y = 12:

$\sf x=20-y$

$\sf x=20-12$

$\sf \red{x=8}$

=> Para y = 8:

$\sf x=20-y$

$\sf x=20-8$

$\sf \red{x=12}$

As arestas desse paralelepípedo medem 6 cm, 8 cm e 12 cm.

A maior aresta mede 12 cm.