Question

Determine A Medida Da Area Eo Volume de uma esfera Sabendo que seu raio mede 1/5 do raio de outra esfera cujo volume e 4.500 cm3??

Answer 1

A razão entre os volumes é o cubo da razão entre os respectivos raios:

$\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\left(\dfrac{r_{1}}{r_{2}} \right )^{3}$


Pelo enunciado, temos que

$r_{2}=\dfrac{1}{5}\,r_{1}\\ \\ \\ V_{1}=4\,500\text{ cm}^{3}$


Substituindo na proporção, encontramos o volume $V_{2}$ da outra esfera:

$\dfrac{4\,500}{V_{2}}=\left(\dfrac{r_{1}}{\frac{1}{5}\,r_{1}} \right )^{3}\\ \\ \\ \dfrac{4\,500}{V_{2}}=\left(\dfrac{1}{(\frac{1}{5})} \right )^{3}\\ \\ \\ \dfrac{4\,500}{V_{2}}=(5)^{3}\\ \\ \\ \dfrac{4\,500}{V_{2}}=125\\ \\ \\ V_{2}=\dfrac{4\,500}{125}\\ \\ \\ V_{2}=36\text{ cm}^{3}$


Encontrando o raio $r_{2}$ da outra esfera:

$V_{2}=\dfrac{4\pi r_{2}^{3}}{3}\\ \\ \\ 36=\dfrac{4\pi r_{2}^{3}}{3}\\ \\ \\ 4\pi r_{2}^{3}=3\cdot 36\\ \\ 4\pi r_{2}^{3}=108\\ \\ r_{2}^{3}=\dfrac{108}{4\pi}\\ \\ \\ r_{2}^{3}=\dfrac{27}{\pi}\\ \\ \\ r_{2}=\sqrt[3]{\dfrac{27}{\pi}}\text{ cm}\\ \\ \\ r_{2}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{\pi}}\text{ cm}\\ \\ \\ r_{2}\cong 2,05 \text{ cm}$


Encontrado a área da superfície esférica da outra esfera:

$A_{2}=4\pi r_{2}^{2}\\ \\ A_{2}=4\pi \cdot (2,05)^{2}\\ \\ A_{2}=52,78\text{ cm}^{2}$