Question

Determine a média aritmética dos cinco meios aritméticos que podem ser inseridos entre 15 e 603​

Answer 1

Ao interpolarmos 5 meios aritméticos entre 15 e 603, teremos a formação de uma PA com 7 termos.

                             $\sf PA:~~\{15~,~a_2~,~a_3~,~a_4~,~a_5~,~a_6~,~603\}$

Nesta resolução, vou achar o resultado da forma mais demorada (e trabalhosa), mas fica como dica ler sobre um pouco sobre as propriedades das progressões aritméticas, já que esse exercício pode ser resolvido de forma simples e rápida.

Obs.: Essa forma mais rápida de resolução é mostrada no final.

Utilizando o termo geral da PA (mostrado abaixo), vamos determinar a razão, diferença entre dois termos consecutivos da progressão.

$\sf Termo~Geral~da~PA:~~\boxed{\sf a_n~=~a_m+(n-m)\cdot r}\\\\\\Utilizando~os~termos~conhecidos~a_1~e~a_7:\\\\\\a_7~=~a_1~+~(7-1)\cdot r\\\\603~=~15~+~6\cdot r\\\\6r~=~603-15\\\\r~=~\dfrac{588}{6}\\\\\boxed{\sf r~=~98}$

Novamente com auxílio do termo geral, vamos agora passar ao cálculo dos 5 meios aritméticos que foram inseridos.

$\sf a_2~=~a_1+(2-1)\cdot r~=~15+1\cdot 98~~\Rightarrow~~\boxed{\sf a_2~=~113}\\\\\\a_3~=~a_2+(3-2)\cdot r~=~113+1\cdot 98~~\Rightarrow~~\boxed{\sf a_3~=~211}\\\\\\a_4~=~a_3+(4-3)\cdot r~=~211+1\cdot 98~~\Rightarrow~~\boxed{\sf a_4~=~309}\\\\\\a_5~=~a_4+(5-4)\cdot r~=~309+1\cdot 98~~\Rightarrow~~\boxed{\sf a_5~=~407}\\\\\\a_6~=~a_4+(6-5)\cdot r~=~407+1\cdot 98~~\Rightarrow~~\boxed{\sf a_6~=~505}$

Por fim, podemos calcular a média aritmética destes termos:

$\sf Media~=~\dfrac{113+211+309+407+505}{5}\\\\\\Media~=~\dfrac{1545}{5}\\\\\\\boxed{\sf Media~=~309}$

$\sf 2^a~Forma~de~Resolucao:\\\\\\Media~=~\dfrac{a_2+a_3+a_4+a_5+a_6}{5}\\\\\\Sabemos~que~~\boxed{\sf a_1~=~a_7~=~a_2+a_6~=~a_3+a_5}~~e~a_4,~o~termo~central,\\\\~\acute{e}~igual~a~media~de~dois~termos~equidistantes~quaisquer,~logo~podemos~\\\\reescrever~a~media~em~funcao~das~informacoes~dadas~no~enunciado:\\\\\\Media~=~\dfrac{a_2+a_6~+~a_3+a_5~+~a_4}{5}\\\\\\Media~=~\dfrac{a_1+a_7~+~a_1+a_7~+~\frac{a_1+a_7}{2}}{5}\\\\\\Media~=~\dfrac{15+603~+~15+603~+~\frac{15+603}{2}}{5}$

$\sf Media~=~\dfrac{618+618+\,^{618}\!\!/_{2}}{5}\\\\\\Media~=~\dfrac{1545}{2}\\\\\\\boxed{\sf Media~=~309}$

Obs₂.: Há uma forma ainda mais rápida, note que a média é igual ao termo central da PA (a₄) que, por sua vez, é igual a (a₁+a₇)/2. Utilizando o que foi dito acima, é possível entender o porquê.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$