Question

Determine a matriz inversa de LaTeX: \textstyle A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}.

Answer 1

Ao multiplicarmos uma matriz pela sua inversa obtemos a matriz identidade, ou seja, $A.A^{-1} = I$.

Sendo $A=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\4&2\end{array}\right]$, vamos considerar que a sua matriz inversa é $A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$.

Utilizando a definição descrita inicialmente, obtemos:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0\\4&2\end{array}\right]. \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$.

Realizando a multiplicação, temos o seguinte sistema:

{a = 1

{b = 0

{4a + 2c = 0

{4b + 2d = 1

Substituindo o valor de a na terceira equação:

4 + 2c = 0

2c = -4

c = -2.

Substituindo o valor de b na quarta equação:

2d = 1

d = 1/2.

Portanto, a matriz inversa é igual a:

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\-2&\frac{1}{2}\end{array}\right]$.