Determine a Matriz inversa de A= [ 2 4 ]
[1 5]
Soluções para a tarefa
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2
vamos chamar a matriz inversa de A⁻¹ e igual a:
A⁻¹ = |a...b|.........|c...d|.
Agora multiplicaremos A por sua inversa e igualaremos à matriz Identidade, ficando assim:
|2...4|*|a...b| = |1...0||1...5|*|c....d| = |0...1| -----
efetuando o produto indicado, teremos:
|2*a+4*c...2*b+4*d| = |1...0||1*a+5*c....1*b+5*d| = |0...1| =
= |2a+4c...2b+4d| = |1...0|...|a+5c.....b+5d..| = |0...1| -----
veja que ficamos com o sistema:
2a + 4c = 1 . (I) 2b + 4d = 0 . (II) a + 5c = 0 . (III) b + 5d = 1 . (IV)
Agora vamos trabalhar com as expressões (I) e (III), que são:
2a + 4c = 1 . (I)a + 5c = 0 . (III)
Faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (III) por "-2" e, em seguida,somaremos, membro a membro, com a expressão (I).
Assim:
2a + 4c = 1 --- [Esta é a expressão (I) normal]-2a-10c = 0 --- [Esta é a expressão (III) multiplicada por "-2"]--------------------- somando membro a membro, ficaremos:
0 - 6c = 1 --- ou apenas: - 6c = 1 ----- ou: 6c = - 1 c = - 1/6 <--- Este é o valor do elemento "c" da matriz inversa de A.
Agora, para encontrarmos o valor do elemento "a", vamos em quaisquer uma das expressões. Vamos na expressão (III), que é esta:
a + 5c = 0 ---- substituindo "c" por "-1/6", teremos:a + 5*(-1/6) = 0 a - 5/6 = 0 a = 5/6 <--- Este é o valor do elemento "a" da matriz inversa de A.
Agora trabalharemos com a expressões (II) e (IV), que são:
2b + 4d = 0 . (II) b + 5d = 1 . (IV).
Agora faremos o seguinte: multiplicaremos por "-2" a expressão (IV) e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (II). Assim:
2b + 4d = 0 --- [esta é a expressão (II) normal]-2b-10d = -2 --- [esta é a expressão (IV) multiplicada por "-2"]----------------- somando membro a membro, teremos: 0 - 6d = - 2 ---- ou apenas: - 6d = - 2 --- ou: 6d = 2 d = 2/6 --- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos com:
d = 1/3 <--- Este é o valor do elemento "d" da matriz inversa de A.
Agora, para encontrar o valor do elemento "b", vamos em uma das igualdades. Vamos na igualdade (II), que é esta:
2b + 4d = 0 ---- substituindo "d" por "1/3", teremos: 2b + 4*1/3 = 0 2b + 4/3 = 0 2b = - 4/3 b = - 4/3*2 b = - 4/6 --- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos: b = - 2/3 <--- Este é o valor do elemento "b" da matriz inversa de A.
Assim, como já temos que: a = 5/6; b = -2/3; c = -1/6; d = 1/3, então a matriz inversa de A será esta:
A⁻¹ = |5/6.....-2/3|.........|-1/6.......1/3| <--- Esta é a matriz procurada.
A⁻¹ = |a...b|.........|c...d|.
Agora multiplicaremos A por sua inversa e igualaremos à matriz Identidade, ficando assim:
|2...4|*|a...b| = |1...0||1...5|*|c....d| = |0...1| -----
efetuando o produto indicado, teremos:
|2*a+4*c...2*b+4*d| = |1...0||1*a+5*c....1*b+5*d| = |0...1| =
= |2a+4c...2b+4d| = |1...0|...|a+5c.....b+5d..| = |0...1| -----
veja que ficamos com o sistema:
2a + 4c = 1 . (I) 2b + 4d = 0 . (II) a + 5c = 0 . (III) b + 5d = 1 . (IV)
Agora vamos trabalhar com as expressões (I) e (III), que são:
2a + 4c = 1 . (I)a + 5c = 0 . (III)
Faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (III) por "-2" e, em seguida,somaremos, membro a membro, com a expressão (I).
Assim:
2a + 4c = 1 --- [Esta é a expressão (I) normal]-2a-10c = 0 --- [Esta é a expressão (III) multiplicada por "-2"]--------------------- somando membro a membro, ficaremos:
0 - 6c = 1 --- ou apenas: - 6c = 1 ----- ou: 6c = - 1 c = - 1/6 <--- Este é o valor do elemento "c" da matriz inversa de A.
Agora, para encontrarmos o valor do elemento "a", vamos em quaisquer uma das expressões. Vamos na expressão (III), que é esta:
a + 5c = 0 ---- substituindo "c" por "-1/6", teremos:a + 5*(-1/6) = 0 a - 5/6 = 0 a = 5/6 <--- Este é o valor do elemento "a" da matriz inversa de A.
Agora trabalharemos com a expressões (II) e (IV), que são:
2b + 4d = 0 . (II) b + 5d = 1 . (IV).
Agora faremos o seguinte: multiplicaremos por "-2" a expressão (IV) e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (II). Assim:
2b + 4d = 0 --- [esta é a expressão (II) normal]-2b-10d = -2 --- [esta é a expressão (IV) multiplicada por "-2"]----------------- somando membro a membro, teremos: 0 - 6d = - 2 ---- ou apenas: - 6d = - 2 --- ou: 6d = 2 d = 2/6 --- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos com:
d = 1/3 <--- Este é o valor do elemento "d" da matriz inversa de A.
Agora, para encontrar o valor do elemento "b", vamos em uma das igualdades. Vamos na igualdade (II), que é esta:
2b + 4d = 0 ---- substituindo "d" por "1/3", teremos: 2b + 4*1/3 = 0 2b + 4/3 = 0 2b = - 4/3 b = - 4/3*2 b = - 4/6 --- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos: b = - 2/3 <--- Este é o valor do elemento "b" da matriz inversa de A.
Assim, como já temos que: a = 5/6; b = -2/3; c = -1/6; d = 1/3, então a matriz inversa de A será esta:
A⁻¹ = |5/6.....-2/3|.........|-1/6.......1/3| <--- Esta é a matriz procurada.
ellenyalves:
obg
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