Question

Determine a matriz inversa das seguintes matrizes b 3 2 7 5.

Answer 1

Com o estudo sobre matriz inversa encontramos como resposta $\begin{pmatrix}5&-2\\ -7&3\end{pmatrix}$

Matriz Inversa

Uma matriz quadrada B de ordem n é a inversa da matriz quadrada A, também de ordem n, se satisfazer a seguinte condição:

• $A\cdot B=B\cdot A=I_n$

Representa-se a matriz inversa de A como sendo $A^{-1}$.

Exemplo: Determinar a matriz inversa da matriz a seguir:

$A=\begin{pmatrix}1&3\\ 2&1\end{pmatrix}$

Se $A_2\cdot \left(A^{-1}\right)_2=I_2$, então:

• $\begin{pmatrix}1&3\\ 2&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}a+3c&b+3d\\ 2a+c&2b+d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$

Pela igualdade de matrizes, podemos construir os seguintes sistemas

• $\begin{cases}a+3c=1&\\ 2a+c=0&\end{cases}\Rightarrow a=-\frac{1}{5}\:e\:c=\frac{2}{5}$

• $\begin{cases}b+3d=0&\\ 2b+d=1&\end{cases}\Rightarrow a=\frac{3}{5}\:e\:c=\frac{-1}{5}$

Portanto, conclui-se

• $A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\ \frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{pmatrix}$

Sendo assim podemos resolver o exercício

• $\mathrm{Encontrar\:a\:inversa\:de\:uma\:matriz\:de\:2x2\:de\:acordo\:com\:a\:\:formula}:\quad \begin{pmatrix}a\:&\:b\:\\ c\:&\:d\:\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{\det \begin{pmatrix}a\:&\:b\:\\ c\:&\:d\:\end{pmatrix}}$

• $=\frac{1}{\det \begin{pmatrix}3&2\\ 7&5\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}5&-2\\ -7&3\end{pmatrix}=$

• $=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}5&-2\\ -7&3\end{pmatrix}=$

• $=\begin{pmatrix}5&-2\\ -7&3\end{pmatrix}$

Saiba mais sobre matriz inversa:https://brainly.com.br/tarefa/3418214

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