Question

Determine a matriz C = (ij)3x3 dada por:
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Answer 1

$\large C = \begin{bmatrix}0&3&4\\ 3&2&5\\ 4&5&6 \end{bmatrix}$

Explicação

A lei de formação da Matriz $C = (ij) \:3x3$ é dada pelas seguintes restrições:

$\: \: \: \: \: C_{ij} = \begin{cases} i + j , \: se \: i \neq j \\ i {}^{2} - j, \: se \: i = j \end{cases}$

Para montarmos a matriz em questão, temos primeiro que entender o que significa essas letras i e j. Tomemos a matriz A genérica abaixo:

$\: \: \: \: \: \: A = \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}$

Cada elemento (a) deste matriz possui uma "codificação" em relação a sua posição, como por exemplo o termo $a_{11}$, o primeiro número 1 indica a linha que o termo se encontra e o segundo 1 indica a coluna, se você observar o termo se encontra justamente na linha 1 coluna 1.

$\: \: \bullet \: \: a_{11} \equiv a_{ij} \: \to \: \begin{cases}i \to linha \\ j \to coluna \end{cases}$

Sabendo disso, podemos agora partir para a montagem da matriz C. Para um melhor entendimento vamos usar a matriz genérica escrita anteriormente na explicação.

• Termos da primeira linha:

Observando a matriz A, podemos ver que o primeiro termo da primeira linha (a11) possui i = 1 e j = 1 e de acordo com a lei de formação, quando i = j, devemos usar i² - j para determinar o termo.

$\underbrace{c_{11}}_{ i = j }\: \to \:c_{11} = i {}^{ 2} - j \: \to \: c_{11} = 1 {}^{2} - 1 \: \: \to \: \:c_{11} = 0$

Tanto o segundo termo como o terceiro termo possuem i ≠ j, já que no segundo termo temos (a12), isto é, i = 1 e j = 2 e no terceiro termo (a13), i = 1 e j = 3. Pela lei de formação, quando i ≠ j, usamos i + j para determinar o termo.

$\underbrace{c_{12}}_{ i \neq j } \: \to \:c_{12} = i + j \: \to \: c_{12} = 1 + 2 \: \to \: c_{12} = 3 \\ \underbrace{c_{13}}_{ i \neq j } \: \to \:c_{13} = i + j \: \to \: c_{13} = 1 + 3 \: \to \: c_{12} = 4$

• Termos da segunda linha:

Para a determinação dos termos daqui em diante segue a mesma lógica usada nos termos da primeira linha. Portanto:

$\underbrace{c_{21}}_{ i \ne j } \to \:c_{21} = i + j \: \to \:c_{21} = 2 +1 \: \to \:c_{21} = 3\\ \underbrace{c_{22}}_{ i = j } \to \:c_{22} = i {}^{2} - j \: \to \:c_{21} = 2 {}^{2} - 2\: \to \:c_{21} = 2 \\ \underbrace{c_{23}}_{ i \ne j } \to \:a_{23} = i + j \: \to \:c_{23} = 2 +3\: \to \:c_{23} = 5$

• Termos da terceira linha:

A lógica usada anteriormente ainda se mantém.

$\underbrace{c_{31}}_{ i \ne j } \to \:c_{31} = i + j \: \to \:c_{31} = 3+1 \: \to \:c_{31} = 4\\ \underbrace{c_{32}}_{ i \neq j } \to \:c_{32} = i + j \: \to \:c_{32} = 3 + 2\: \to \:c_{32} = 5 \\ \underbrace{c_{33}}_{ i = j } \to \:a_{33} = i {}^{2} - j \: \to \:c_{33} = 3 {}^{2} - 3\: \to \:c_{33} = 6$

Tendo encontrado, vamos substituir os dados calculados na matriz C.

$C = \begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\ c_{21}&c_{22}&c_{23} \\ c_{31}&c_{32}&c_{33} \end{bmatrix} \: \to \: C = \begin{bmatrix}0&3&4\\ 3&2&5\\ 4&5&6 \end{bmatrix}$

Espero ter ajudado

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