Question

Determine a lei da função inversa da função dada por: y = 1/(1+x^2 )

Answer 1

Resposta:

$y =+\sqrt{\frac{1-x}{x}}$     ∨     $y =-\sqrt{\frac{1-x}{x}}$     quando x ≠ { 0 ; 1 }

( tem anexo com o gráfico da função original )

Explicação passo a passo:

Função inversa

Observação 1 → Condições para uma função ter função inversa

Para existir função inversa a função original tem que ser injetiva e

sobrejetiva (simultaneamente )

Quando tem as duas caraterísticas em simultâneo diz-se que é função

bijetiva.

Função Injetiva → é quando a um valor de x corresponde um e apenas um

valor em y.  

Função Sobrejetiva →  é quando o contradomínio coincide com o conjunto

de chegada.

Primeiro olhar para o domínio da função inicialmente dada.

$y=\frac{1}{1+x^2}$

É uma função real de variável real.

Seu domínio só tem uma restrição :

→ o denominador tem de ser diferente de zero.

Divisões por zero são impossíveis de resolver em |R.

1 + x²

→ x for positivo ou negativo quando elevados ao quadrado dão sempre

positivo

Um número positivo + 1 = valor positivo diferente de zero

se x = 0    zero mais 1 = 1  logo valor positivo, diferente de zero

O denominador vem sempre positivo e diferente de zero.

O domínio é |R .

O contradomínio é R.   É sobrejetiva

Quando x toma quaisquer valores reais, tem apenas uma só representação

no conjunto de chegada.

Logo é injetiva.

       

Podemos logo de início trocar as variáveis.

E resolver em ordem a y

$x=\frac{1}{1+y^2}$    

Multiplicar ambos os membros por 1 + y²

$(1 + y^{2})*x =\frac{1*(1+y^{2}) }{1+y^2}$

No segundo membro o ( 1 + y² ) no numerador cancela-se com igual

expressão no denominador.

Observação 2 → Isto pode ser feito pois já mostramos atrás que 1 + y² ≠ 0

Usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

algébrica ( regra do "chuveirinho" )

$1*x + x*y^{2} =1$

Resolver em ordem a y    

$x*y^{2} =1-x$

$\frac{x*y^{2}}{x} =\frac{1-x}{x}$

No primeiro membro , x  do numerador cancela-se com o x do

denominador.

   

$y^{2} =\frac{1-x}{x}$

$y =+\sqrt{\frac{1-x}{x}}$     ∨     $y =-\sqrt{\frac{1-x}{x}}$    

A função inversa tem restrições no domínio:

→ 0 denominador  da fração no radicando  tem de ser ≠ 0

→ a fração do radicando tem que ser > 0

$\frac{1-x}{x}\neq 0$

Multiplicar por x ambos os membros.

Observação 3 → É possível fazer porque agora viu-se que  x ≠ 0

$\frac{(1-x)*x}{x}\neq 0*x$

No primeiro membro o x no numerador cancela-se com o x no

denominador,

( pode - se  fazer o cancelamento, porque x ≠ 0 )

$1-x\neq 0$

- x ≠ - 1

 x ≠ 1

Domínio da função inversa { x ∈ |R | ↑x ∈ |R \ {∈0 ; 1 }

Bons estudos.

------------------------------

( * ) multiplicação      ( ∈ )  pertence a       (  ∨ )  ou        ( ≠ )  diferente de

( |R ) conjunto dos números reais