Question

Determine a lei da função afim cuja reta intersecta os eixos em (0,7) e (-2,0). Construa o gráfico dessa função. A função é crescente ou decrescente?

Answer 1

Toda função afim é uma função que tem a seguinte estrutura:

$f(x) = ax+b$

Onde a e b são coeficientes que determinam a função. Devemos encontrar a e b para encontrarmos f(x), e como faremos isso? Bem, precisamos de alguma informação sobre a função para obtermos-a, seja a inclinação da mesma e 1 ponto ou 2 pontos que pertençam a função.

O exercício nos propõe a segunda opção, pois nos dá que

f(0) =  7

f(-2) = 0

Com essas informações podemos substituir na função genérica ax+b para obtermos sistemas lineares com 2 equações e 2 variáveis:

$f(0)=a\times0+b = 7$

$f(-2)=-2a+b=0$

Com sorte, a primeira equação nos resta somente

$b = 7$

O que bastou para descobrirmos o valor de b, e o valor de a será só substituir na segunda equação:

$-2a+7=0$

$2a = 7 \implies a = 3.5$

Portanto, com os valores de a e b obtemos a função:

$f(x)=3.5a+7$

Definimos crescente e decrescente quando, dados x₁ e x₂ tais que

$x_1<x_2$

f é crescente se e somente se

$f(x_1)<f(x_2)$

Ou seja, se x cresce, f(x) também cresce

e o inverso, a função é decrescente se e somente se

$f(x_1)>f(x_2)$

Vamos fazer isso na função, dados x₁ e x₂ tais que

$x_1<x_2$

Teremos

$f(x_1) = 3.5x_1+7$

$f(x_2) = 3.5x_2+7$

$x_1<x_2$

Uma vez que 3.5 > 0, então mantém a inigualdade:

$3.5x_1<3.5x_2$

Somando ambos os lados por 7:

$3.5x_1+7<3.5x_2+7$

Que é f(x₁) e f(x₂):

$f(x_1)<f(x_2)$

Portanto, a função é crescente!

Importante:

Na realidade, basta ver o sinal do coeficiente a, que acompanha o x, pois caso a < 0, então a inigualdade x₁ < x₂ se inverte, tornando-se:

$a\times x_1>a\times x_2$

E somando b:

$a\times x_1+b>a\times x_2+b$

$f(x_1)>f(x_2)$

Tornando a função decrescente

Assim, quem determina se a função é crescente ou decrescente é o coeficiente a fazendo com que:

$a>0 \iff f(x) \: crescente$

$a<0 \iff f(x) \: decrescente$