Question

Determine a inversa das matrizes se existir
Há uma dúvida, por mais que eu consiga efetuar os cálculos, quando eu multiplicar A.A(-1)= I eu devo obter uma matriz identidade, não é

Obs : gostaria de um passo a passo,

Answer 1

As matrizes inversas serão obtidas através dos sistemas lineares oriundos da igualdade A*A(-1) = I.

A matriz inversa terá a forma:

$X = \left[\begin{array}{cc}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{array}\right]$

Deste modo, vamos fazer:

a) A*X = I

Lembrando que na multiplicação de matrizes nós multiplicamos as linhas da primeira pelas colunas da segunda. Primeiramente vamos calcular a matriz A*X:

$A*X = \left[\begin{array}{cc}4&3\\1&1\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cc}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}4x_{11} + 3x_{21}&4x_{12} + 3x_{22}\\x_{11} + x_{21}&x_{12} + x_{22}\end{array}\right]$

Igualando essa matriz resultando com a matriz identidade, temos:

$\left[\begin{array}{cc}4x_{11} + 3x_{21}&4x_{12} + 3x_{22}\\x_{11} + x_{21}&x_{12} + x_{22}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

O que resulta no sistema linear:

$\left \{ {{4x_{11} + 3x_{21} = 1} \atop {4x_{12} + 3x_{22} = 0 \atop {x_{11} + x_{21} = 0}}} \atop {x_{12} + x_{22} = 1}} \right. \\\\\left \{ {{4x_{11} + 3x_{21} = 1} \atop {x_{12} = -3x_{22}/4 \atop {x_{11} = -x_{21}}}} \atop {x_{12} + x_{22} = 1}} \right.$

Olhando para o sistema linear de baixo, podemos substituir a segunda equação na quarta equação, resultando em:

$x_{12} + x_{22} = 1\\\\-3x_{22}/4 + x_{22} = 1\\\\x_{22}/4 = 1\\\\x_{22} = 4$

Substituindo esse resultado na equação 2:

$x_{12} = -3x_{22}/4 = -3*4/4 = -3$

Agora vamos substituir a equação 3 na primeira equação:

$\left \{ {{4x_{11} + 3x_{21} = 1} \atop {x_{12} = -3x_{22}/4 \atop {x_{11} = -x_{21}}}} \atop {x_{12} + x_{22} = 1}} \right.\\\\4x_{11} + 3x_{21} = 1\\\\4*(-x_{21}) + 3x_{21} = 1\\\\-x_{21} = 1\\\\x_{21} = -1$

Substituindo esse valor na terceira equação:

$x_{11} = -x_{21} = -(-1) = 1$

Sendo assim, a matriz inversa de A será:

$X = \left[\begin{array}{cc}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&-3\\-1&4\end{array}\right]$

Agora vamos para a letra b). Nela faremos os cálculos diretamente:

b) A matriz inversa é, novamente:

$X = \left[\begin{array}{cc}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{array}\right]$

Fazendo B*X:

$B*X = \left[\begin{array}{cc}5&3\\3&2\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cc}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5x_{11} + 3x_{21}&5x_{12} + 3x_{22}\\3x_{11} + 2x_{21}&3x_{12} + 2x_{22}\end{array}\right]$

Igualando à matriz identidade:

$B*X = I\\\\ \left[\begin{array}{cc}5x_{11} + 3x_{21}&5x_{12} + 3x_{22}\\3x_{11} + 2x_{21}&3x_{12} + 2x_{22}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Resultando no sistema linear:

$\left[\begin{array}{cc}5x_{11} + 3x_{21}&5x_{12} + 3x_{22}\\3x_{11} + 2x_{21}&3x_{12} + 2x_{22}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\\\\\\\left \{ {{5x_{11} + 3x_{21} = 1} \atop {5x_{12} + 3x_{22} = 0}} \atop {3x_{11} + 2x_{21} = 0 \atop{3x_{12} + 2x_{22} = 1}} \right. \\\\\left \{ {{5x_{11} + 3x_{21} = 1} \atop {x_{12} = -3x_{22}/5}} \atop {x_{11} = -2x_{21}/3 \atop{3x_{12} + 2x_{22} = 1}} \right.$

Substituindo (2) em (4):

$3x_{12} + 2x_{22} = 1\\\\3*(-3x_{22}/5) + 2x_{22} = 1\\\\-9x_{22}/5 + 2x_{22} = 1\\\\x_{22}/5 = 1\\\\x_{22} = 5$

Substituindo esse valor em (2):

$x_{12} = -3x_{22}/5 = -3*5/5 = -3$

Substituindo (3) em (1):

$5x_{11} + 3x_{21} = 1\\\\5*(-2x_{21}/3) + 3x_{21} = 1\\\\-10x_{21}/3 + 3x_{21} = 1\\\\-x_{21}/3 = 1\\\\x_{21} = -3$

Substituindo esse valor em (3):

$x_{11} = -2x_{21}/3 = -2*(-3)/3 = 2*3/3 = 2$

Logo a matriz inversa é:

$X = \left[\begin{array}{cc}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{array}\right] = X = \left[\begin{array}{cc}2&-3\\-3&5\end{array}\right]$

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