Question

Determine a inversa das funções:
a) f(x)=3x+2
b) $y=\frac{x+5}{x-2}$

Answer 1

Seja $y=f^{-1}\left(x\right)$. De acordo com a definição de função inversa, devemos ter

$f\left(f^{-1}\left(x\right) \right )=x \Rightarrow \boxed{f\left(y \right )=x}$


a) $f\left(x \right )=3x+2$

$f\left(y \right )=x\\ \\ 3y+2=x\\ \\ 3y=x-2\\ \\ y=\frac{x-2}{3} \Rightarrow \boxed{f^{-1}\left(x \right )=\frac{x-2}{3}}$


b) $f\left(x \right )=\frac{x+5}{x-2}$

$f\left(y \right )=x\\ \\ \frac{y+5}{y-2}=x\\ \\ y+5=x \cdot \left(y-2 \right )\\ \\ y+5=xy-2x\\ \\ y-xy=-2x-5\\ \\ y \cdot \left(1-x \right )=-2x-5\\ \\ y=\frac{-2x-5}{1-x}\\ \\ y=\frac{2x+5}{x-1} \Rightarrow \boxed{f^{-1}\left(x \right )=\frac{2x+5}{x-1}}$