Question

determine a inversa da
$f(x) = \frac{1}{ \sqrt[3]{3x + 1} }$
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Função inversa :

Dada a função :

$\mathsf{y~=~\dfrac{1}{\sqrt[3]{3x+1}} }$

Para achar a inversa da função , vamos fazer troca de variável , no lugar do x vamos colocar o y , e no lugar do y o x , de seguida vamos isolar o y .

$\mathsf{x~=~\dfrac{1}{\sqrt[3]{3y+1}} }$

$\mathsf{x.\sqrt[3]{3y+1}~=~1 }$

$\mathsf{\sqrt[3]{3y+1}~=~\dfrac{1}{x} }$

$\mathsf{3y+1~=~\dfrac{1}{x^3} }$

$\mathsf{3y~=~\dfrac{1}{x^3} - 1 }$

$\mathsf{y~=~\Big(\dfrac{1}{x^3} - 1 \Big) . \dfrac{1}{3} }$

$\mathsf{\red{f^{-1}(x)~=~\dfrac{1}{3x^3} - \dfrac{1}{3}} }$

Espero ter ajudado bastante!)

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Para descobrirmos a regra da função inversa, devemos colocar x em função de y:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{3x+1} } \\y=f(x)\\y=\frac{1}{\sqrt[3]{3x+1}}\\y.\sqrt[3]{3x+1} =\frac{1}{\sqrt[3]{3x+1} }.\sqrt[3]{3x+1} \\ (\sqrt[3]{3x+1}.y)^{3} = 1^{3} \\y^{3}.(3x+1)=1 \\3x+1=\frac{1}{y^{3}}\\3x=\frac{1}{y^{3}} -1 \\3x=\frac{1-y^{3}}{y^{3}} \\x=(\frac{1-y^{3}}{y^{3}} ).\frac{1}{3}\\x=\frac{1-y^{3}}{3y^{3}}$

Substituindo x por y, temos que:

$f^{-1}(x)=\frac{1-x^{3}}{3x^{3}}$