Question

determine a inversa da matriz ?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Keullakarina, que esta questão ainda dá pra colocarmos a nossa resposta.
Então vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento

i) Pede-se a matriz inversa da matriz A, que é esta:

A = |1......2|
......|7.....10|

ii) Vamos chamar a matriz inversa da seguinte forma:

A⁻¹ = |a......b|
.........|c......d|

iii) Agora vamos multiplicar a matriz A pela sua inversa e igualar à matriz identidade de mesma ordem. Assim, teremos:

A*A⁻¹ = |1......2|*|a.....b| = |1.....0|
.............|7....10|*|c.....d| = |0.....1| ---- efetuando o produto indicado, temos:

= |1*a+2*c.............1*b+2*d| = |1.....0|
= |7*a+10*c.........7*b+10*d| = |0.....1| --- continuando, temos:

= |a+2c.............b+2d| = |1.....0|
= |7a+10c.....7b+10d| = |0.....1|

Agora basta igualarmos cada elemento da primeira matriz com o seu correspondente elemento na outra matriz. Assim, teremos:

a+2c = 1       . (I)
b+2d = 0      . (II)
7a+10c = 0   . (III)
7b+10d = 1  . (IV)

iv) Vamos logo trabalhar com as expressões que estão igualadas a zero, que são as expressões (II) e (III) acima. Então teremos:

b + 2d = 0 ----> b = - 2d      . (V)
e
7a + 10c = 0 --->7a = - 10c ---> a = -10c/7      . (VI)

v) Agora vamos na expressão (I), que é esta:

a + 2c = 1 --- substituindo-se "a" por "-10c/7" (conforme vimos na expressão VI), teremos:

-10c/7 + 2c = 1 ---- mmc = 7. Assim, utilizando-o no 1º membro, temos:
(-1*10c+7*2c)/7 = 1
(-10c + 14c)/7 = 1 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
(4c)/7 = 1 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
4c = 7*1
4c = 7
c = 7/4 <--- Este é o valor do elemento "c".

vi) Agora vamos na expressão (IV), que é esta:

7b + 10d = 1 -- substituindo-se "b" por "-2d" conforme vimos na expressão (V), teremos:

7*(-2d) + 10d = 1
-14d + 10d = 1
-4d = 1 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", temos;
4d = - 1
d = - 1/4 <--- Este é o valor do elemento "d".

vii) Agora vamos trabalhar com as expressões (V) e (VI), que são estas:

b = - 2d       . (V)
e
a = -10c/7    . (VI)

vii.1) Assim, teremos:

b = - 2d ---- substituindo-se "d" por "-1/4", teremos:
b = -2*(-1/4)
b = 2/4 --- simplificando-se numerador e denominador por "2", temos:
b = 1/2 <--- Este é o valor do elemento "b".

vii.2)

a = -10c/7 --- substituindo-se "c" por "7/4", teremos:
a = -10*(7/4) / 7
a = (-70/4) / 7 --- ou apenas:
a = -70/4*7
a = -70/28 --- simplificando-se numerador e denominador por "2", temos:
a = -35/14 <--- Este é o valor do elemento "a".

viii) Assim, a matriz inversa será esta, após substituirmos "a", "b", "c" e "d" por seus valores ora encontrados:

A⁻¹ = |-35/14.......1/2|
.........|7/4...........-1/4| <--- Esta é a inversa pedida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.