Question

Determine a integral de superfície abaixo:

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{\dfrac{\pi}{2}}$

Explicação passo-a-passo:

Para melhor visualização da resposta utilize o navegador.

1. Faça a parametrização da superfície:

$\vec{\mathsf{r}}\,\mathsf{(r,\theta)=(cos\,\theta,sin\,\theta,r)}$

2. Defina os limites de integração:

$\mathsf{0\leq r\leq1}\\\\\mathsf{0\leq \theta\leq2\pi}$

3. Calcule as derivadas do "vetor" r:

$\vec{\mathsf{r}}_\mathsf{r}=\mathsf{(0,0,1)}\\\\\vec{\mathsf{r}}_\mathsf{\theta}=\mathsf{(-sin\,\theta,cos\,\theta,0)}$

4. Determine o produto vetorial:

$\vec{\mathsf{r}}_\mathsf{r}\times \vec{\mathsf{r}}_\mathsf{\theta}=\left|\begin{array}{ccc}\mathsf{\hat i}&\mathsf{\hat j}&\mathsf{\hat k}\\\mathsf{0}&\mathsf{0}&\mathsf{1}\\\mathsf{-sin\,\theta}&\mathsf{cos\,\theta}&\mathsf{0}\end{array}\right|=\mathsf{(-cos\,\theta,-sin\,\theta,0)}$

5. Calcule o módulo do produto vetorial:

$|\vec{\mathsf{r}}_\mathsf{r}\times \vec{\mathsf{r}}_\mathsf{\theta}|=\mathsf{\sqrt{(-cos\,\theta)^2+(-sin\,\theta)^2+0^2}}$

$|\vec{\mathsf{r}}_\mathsf{r}\times \vec{\mathsf{r}}_\mathsf{\theta}|=\mathsf{1}$

6. Agora, podemos calcular a integral de superfície:

$\mathsf{\displaystyle \iint_Sx^2z\,dS=\int_0^{2\pi}\int_0^1r\cdot cos^2\theta\cdot1\,dr\,d\theta}\\\\\\=\mathsf{\displaystyle \int_0^{2\pi}cos^2\theta\bigg(\int_0^1r\,dr\bigg)d\theta}\\\\\\=\mathsf{\displaystyle \int_0^{2\pi}\dfrac{1}{2}\cdot cos^2\theta\,d\theta}\\\\\\=\mathsf{\dfrac{1}{2}\displaystyle \int_0^{2\pi}\dfrac{1}{2}(1+cos\,2\theta)\,d\theta}$

$=\mathsf{\dfrac{1}{4}\cdot\bigg[\theta+\dfrac{sin\,2\theta}{2}\bigg]_0^{2\pi}=\dfrac{1}{4}\cdot\bigg[2\pi+\dfrac{sin\,4\pi}{2}-\bigg(0+\dfrac{sin\,0}{2}\bigg)\bigg]=\dfrac{2\pi}{4}\\}\\\\\\=\mathsf{\dfrac{\pi}{2}}$

Conclusão: o valor da integral é π/2

Encontrou algum erro? Não deixe de comentar! : ]

Bons estudos! :D

Equipe Brainly