Question

determine a integral de superfície abaixo:

Answer 1

Resposta:

40π√2

Explicação passo-a-passo:

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A integral de superfície de uma função de três variáveis é dada por:

$\boxed{\mathsf{\displaystyle \iint_S f(x,y,z)\,dS=\iint_D f(r(u,v))\cdot |r_u\times r_v|\,dA}}$

1. Faça a parametrização do cone:

$\vec{\mathsf{r}}\mathsf{(r,\theta)=(r\,cos\, \theta,r\,sen\,\theta,r)}$

2. Determine os limites de integração:

$\mathsf{1\leq r \leq3}\\\\\mathsf{0\leq \theta \leq 2\pi}$

3. Calcule as derivadas do vetor r:

$\vec{\mathsf{r}}_\mathsf{r}=\mathsf{(cos\,\theta, sen\,\theta, 1)}\\\\\vec{\mathsf{r}}_\mathsf{\theta}=\mathsf{(-r\,sen\,\theta, r\, cos\,\theta, 0)}$

4. Determine o produto vetorial:

$\vec{\mathsf{r}}_\mathsf{r}\times\vec{\mathsf{r}}_\mathsf{\theta}={\left|\begin{array}{ccc}\mathsf{\hat i}&\mathsf{\hat j}&\mathsf{\hat k}\\\mathsf{cos\,\theta}&\mathsf{sen\,\theta}&\mathsf{1}\\-\mathsf{r\,sen\,\theta}&\mathsf{r\,cos\,\theta}&\mathsf{0}\end{array}\right|=\mathsf{(-r\,cos\,\theta,-r\,sen\,\theta,r)}$

5. Calcule o módulo do produto:

$|\vec{\mathsf{r}}_\mathsf{r}\times\vec{\mathsf{r}}_\mathsf{\theta}|=\sqrt{\mathsf{(-r\,cos\,\theta)^2+(-r\,sen\,\theta)^2+r^2}$

$|\vec{\mathsf{r}}_\mathsf{r}\times\vec{\mathsf{r}}_\mathsf{\theta}|=\mathsf{r\sqrt{2}}$

6. Determine a integral de superfície usando a fórmula:

$\mathsf{\displaystyle \iint_S z^2 \,dS=\int_0^{2\pi}\int_1^3r^2\cdot(r\sqrt{2})\,dr\,d\theta}\\\\\\=\mathsf{\displaystyle \sqrt{2}\int_0^{2\pi}\int_1^3r^3\,dr\,d\theta}\\\\\\=\mathsf{\displaystyle \sqrt{2}\int_0^{2\pi}20\,d\theta}\\\\\\=\mathsf{\displaystyle 20\sqrt{2}\int_0^{2\pi}d\theta}\\\\\\=\mathsf{20\sqrt{2}\cdot(2\pi)}\\\\=\mathsf{40\pi\sqrt{2}}$

Conclusão: a integral de superfície vale 40π√2

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Equipe Brainly