Question

Determine a integral de linha
∮
C
e
y
d
x
+
4
x
e
y
d
y
, onde a curva C é um retângulo centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário, com lados (1,2), ( -1,2), (-1, -2) e (1, -2).

Answer 1

O valor da integral de linha é $\large \sf 8(e^2-e^{-2})$

O que é uma integral de linha?

A integral de linha surgiu no início do século XIX como uma ferramenta para resolver inúmeros problemas das áreas da eletricidade, magnetismo, escoamento de fluidos e forças.

Na integral de linha estamos interessados em integrar uma função ao longo de um caminho (curva), ao invés de um intervalo como na integral normal.

Para o caso em que temos uma curva de integração paramétrica na variável t, isto é,  $\large \sf r(t) = (x(t), y(t))$, a integral de linha pode ser escrita da seguinte forma:

$\large \begin{array}{lr} \sf \displaystyle \int_Cf(x,y)\,dx\,dy=\int_a^bf[r(t)]\cdot r'(t) \, dt \end{array}$

Solução:

Para este problema, vamos dividir o caminho de integração em 4 partes, cada uma representando um lado do retângulo, conforme mostra a figura no anexo. Nestas condições, a integral de linha é dada por:

$\large \begin{array}{lr} \sf \displaystyle \oint_C f(x,y)ds=\int_{C_1}f(x,y)ds\ +\int_{C_2}f(x,y)ds\ +\int_{C_3}f(x,y)ds\ +\int_{C_4}f(x,y)ds\ \end{array}$

Neste caso, todas as curvas de integração são segmentos de reta que podem ser escritos conforme a equação paramétrica:

$\large \begin{array}{lr} \sf r(t)=(1-t)r_o+tr_1,\quad t \in [0,1]\end{array}$

onde r₀ é o ponto inicial e r₁ o ponto final do segmento.

A resolução que apresentamos a seguir possui as mesmas duas etapas. Primeiro mostramos a equação paramétrica da curva e calculamos sua derivada. Por fim, calculamos a integral em si.

Calculando a primeira integral:

1. Calcular a equação paramétrica da curva e sua derivada

$\large \begin{array}{lr} \sf C_1: (1,2) \rightarrow (-1,2)\\\\ \sf r(t)=(1-t)(1,2)+t(-1,2) \\\\ \sf r(t)=(1-2t, 2), \quad t \in [0,1]\\\\ \sf r'(t)=(-2,0)\end{array}$

2. Resolver a integral

$\large \begin{array}{lr} \sf \displaystyle \int_{C_1}e^y \ dx +4xe^y \ dy =\int_0^1e^2(-2)dt+0=-2e^2\int_0^1dt\\\\ \sf -2e^2\bigg(t\bigg|_0^1\bigg)=\boxed{\sf -2e^2}\end{array}$

Calculando a segunda integral:

1. Calcular a equação paramétrica da curva e sua derivada

$\large \begin{array}{lr} \sf C_2: (-1,2) \rightarrow (-1,-2)\\\\ \sf r(t)=(1-t)(-1,2)+t(-1,-2) \\\\ \sf r(t)=(-1, 2-4t), \quad t \in [0,1]\\\\ \sf r'(t)=(0,-4)\end{array}$

2. Resolver a integral

$\large \begin{array}{lr} \sf \displaystyle \int_{C_2}e^y \ dx +4xe^y \ dy =\int_0^1 0+4(-1)e^{2-4t}(-4)\ dt=16e^2\int_0^1e^{-4t}\ dt\\\\ \sf 16e^2\bigg(\dfrac{e^{-4t}}{-4}\bigg|_0^1\bigg)=\boxed{\sf 4(e^2-e^{-2})}\end{array}$

Calculando a terceira integral:

1. Calcular a equação paramétrica da curva e sua derivada

$\large \begin{array}{lr} \sf C_3: (-1,-2) \rightarrow (1,-2)\\\\ \sf r(t)=(1-t)(-1,-2)+t(1,-2) \\\\ \sf r(t)=(2t-1, -2), \quad t \in [0,1]\\\\ \sf r'(t)=(2,0)\end{array}$

2. Resolver a integral

$\large \begin{array}{lr} \sf \displaystyle \int_{C_3}e^y \ dx +4xe^y \ dy =\int_0^1 e^{-2}(2)\ dt+0=2e^{-2}\int_0^1 dt\\\\ \sf 2e^{-2}\bigg(t\bigg|_0^1\bigg)=\boxed{\sf 2e^{-2}}\end{array}$

Calculando a quarta integral:

1. Calcular a equação paramétrica da curva e sua derivada

$\large \begin{array}{lr} \sf C_4: (1,-2) \rightarrow (1,2)\\\\ \sf r(t)=(1-t)(1,-2)+t(1,2) \\\\ \sf r(t)=(1, 4t-2), \quad t \in [0,1]\\\\ \sf r'(t)=(0,4)\end{array}$

2. Resolver a integral

$\large \begin{array}{lr} \sf \displaystyle \int_{C_4}e^y \ dx +4xe^y \ dy =\int_0^1 0+4(1)e^{4t-2}(4)\ dt=16e^{-2}\int_0^1e^{4t}\ dt\\\\ \sf 16e^{-2}\bigg(\dfrac{e^{4t}}{4}\bigg|_0^1\bigg)=\boxed{\sf 4(e^2-e^{-2})}\end{array}$

Portanto o valor da integral é a soma dos resultados anteriores:

$\large \begin{array}{lr} \sf \displaystyle \oint_Ce^ydx+4xe^ydy=-2e^{-2}+4(e^2-e^{-2})+2e^{-2}+4(e^2-e^{-2}) \\\\ =\boxed{\sf 8(e^2-e^{-2})}\end{array}$

Continue aprendendo com o link abaixo:

Integral de linha - aplicações

https://brainly.com.br/tarefa/42674324

Bons estudos!

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