Question

Determine a integral curvilínea abaixo, utilizando o Teorema de Green, ao longo do círculo x² + y² + 4y = 0, no sentido anti horário.

Answer 1

Resposta:

48π

Explicação passo-a-passo:

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1. Reescreva a equação da circunferência na forma padrão:

$\mathsf{x^2+y^2+4y=0\qquad\rightarrow\qquad x^2+(y-2)^2=4}$

isto é uma circunferência com centro no ponto O(0, 2) e raio 2.

2. As equações paramétricas dessa curva são:

$\displaystyle \mathsf{C:\left \{ {{x=2\cdot cos\,\theta} \atop {y=2\cdot sen\,\theta}} \right. }$

3. Agora faça:

$\mathsf{P(x,y)=-3x^2y\qquad\rightarrow\qquad \dfrac{\partial P}{\partial y}=-3x^2}\\\\\mathsf{Q(x,y)=+3xy^2\qquad\rightarrow\qquad \dfrac{\partial Q}{\partial x}=3y^2}$

4. Aplicando o teorema de Green, temos:

$\displaystyle \mathsf{\oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_R\bigg(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\bigg)\,dx\,dy}\\\\\\\mathsf{\displaystyle \oint_C(-3x^2y)\,dx+(3xy^2)\,dy=\iint_R(3y^2+3x^2)\,dx\,dy}$

5. Calcular a integral do lado direito é muito difícil com coordenadas retangulares. Vamos facilitar o trabalho usando as equações paramétricas da circunferência (coordenadas polares).

6. Lembre-se que o jacobiano dessa transformação é:

$\mathsf{J(r,\theta)=r}$

7. E os limites de integração nesse caso são:

$\displaystyle \mathsf{\left \{ {{0\leq r \leq 2} \atop {0\leq \theta \leq 2\pi}} \right. }$

8. Substituindo do lado direito da equação acima, fica:

$\displaystyle \mathsf{\iint_R(3y^2+3x^2)\,dx\,dy=3\,\int_0^{2\pi}\int_0^2(4\,cos^2 \theta+4\,sen^2\theta)\,r\,dr\,d\theta}\\\\\\\mathsf{=12\,\int_0^{2\pi}\int_0^2dr\,d\theta}\\\\\\\mathsf{=12\int_0^{2\pi}2\,d\theta}\\\\\\\mathsf{=24\cdot(2\pi)}\\\\\mathsf{=48\pi}}$

Conclusão: o valor da integral procurada é 48π.

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Bons estudos! :D

Equipe Brainly