Question

Determine a integral curvilínea abaixo, utilizando o Teorema de Green, ao longo do círculo x²+ (y²/9)=1, no sentido horário.

Answer 1

Resposta:

12π

Explicação passo-a-passo:

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1. Faça a parametrização da curva:

$\mathsf{\displaystyle C: \left \{ {{ x=r\cdot cos\,\theta} \atop {y=3r\cdot sin\,\theta}} \right. }$

2. Determine os limites de integração:

$\mathsf{0 \leq r \leq 1}\\\\\mathsf{0 \leq \theta \leq 2\pi}$

3. Calcule as derivadas parciais das funções P e Q:

$\mathsf{P(x,y)=ln(x)-2y}\qquad\rightarrow\qquad\mathsf{\dfrac{\partial P}{\partial y}=-2}\\\\\mathsf{Q(x,y)=2x-e^y}\qquad\quad\rightarrow\qquad\mathsf{\dfrac{\partial Q}{\partial x}=2}$

4. O jacobiano da transformação em coordenadas elípticas é:

$\mathsf{J(r,\theta)=\left|\begin{array}{ccc}\mathsf{cos\,\theta}&\mathsf{-r\,sin\theta}\\\mathsf{3\,sin\theta}&\mathsf{3r\,cos\theta}\end{array}\right| =3r}$

5. Aplique o teorema de Green para calcular a integral solicitada:

$\mathsf{\displaystyle \oint_CP\,dx+Q\,dy=\iint_R\bigg(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\bigg)\,dx\,dy}\\\\\\\mathsf{\displaystyle \oint_C(ln(x)-2y)dx+(2x+e^y)dy=\iint_R4\,dx\,dy}\\\\\\=\mathsf{\displaystyle 4\int_0^{2\pi}\int_0^13r\,dr\,d\theta=12\int_0^{2\pi}\bigg[\dfrac{r^2}{2}\bigg]_0^1\,d\theta}$

$=\mathsf{\displaystyle 12\int_0^{2\pi}\dfrac{1}{2}\,d\theta=6\int_0^{2\pi}d\theta}\\\\\\=\mathsf{6\cdot(2\pi)}\\\\=\mathsf{12\pi}$

Conclusão: o valor da integral solicitada é 12π.

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Equipe Brainly