Question

Determine a integral curvilínea abaixo, utilizando o Teorema de Green, onde C é o triângulo ABD, onde A = (0,0), B = (1,2) e D = (2,0), no sentido anti-horário.

Answer 1

Resposta:

8

Explicação passo-a-passo:

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O teorema de Green relaciona a integral de linha de uma função em relação a uma curva e a integral dupla em relação a área que a curva delimita.

$\boxed{\mathsf{\displaystyle \oint_CP(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=\iint_R\bigg(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\bigg)\,dx\,dy}}$

1. Vamos determinar as equações das retas que formam os lados do triângulo.

2. Seja r₁ a reta que liga os pontos A a B. O coeficiente angular dessa reta é:

$\mathsf{m=\dfrac{y-y_o}{x-x_o}\quad\rightarrow\quad m_1=\dfrac{2-0}{1-0}\quad\rightarrow\quad\therefore m_1=2}$

e a equação geral dela é:

$\mathsf{y-y_o=m\cdot(x-x_o)}\\\\\mathsf{y-0=2\cdot(x-0)}\\\\\therefore \mathsf{y=2x}$

3. Vamos fazer a mesma coisa e determinar a expressão para a reta r₂ que liga os pontos B e D. O coeficiente angular é:

$\mathsf{m=\dfrac{y-y_o}{x-x_o}\quad\rightarrow\quad m_2=\dfrac{0-2}{2-1}\quad\rightarrow\quad\therefore m_2=-2}$

e a equação geral da reta é:

$\mathsf{y-y_o=m\cdot(x-x_o)}\\\\\mathsf{y-0=-2\cdot(x-2)}\\\\\therefore \mathsf{y=-2x+4}$

4. Para obter os limites de integração devemos escrever x como função de y:

$\mathsf{y=2x_1\quad\rightarrow \quad x_1=\dfrac{y}{2}}$

$\mathsf{y=-2x_2+4\quad\rightarrow\quad x_2=-\dfrac{y}{2}+2}$

Para y temos simplesmente 0 ≤ y ≤ 2.

5. Calcule as derivadas das funções P e Q:

$\mathsf{P(x,y)=x^2\quad\quad\quad\rightarrow\quad \dfrac{\partial P}{\partial y}=0}\\\\\mathsf{Q(x,y)=4x+y\quad\rightarrow\quad\dfrac{\partial Q}{\partial x}=4}$

6. De acordo com o teorema de Green, temos:

$\mathsf{\displaystyle \oint_Cx^2\,dx+(4x+y)\,dy=\int_0^2\int_{\frac{y}{2}}^{-\frac{y}{2}+2}4\,dx\,dy}$

$=\mathsf{4\displaystyle \int_0^2-\dfrac{y}{2}+2-\dfrac{y}{2}\,dy=4\int_0^22-y\,dy}$

$=\mathsf{4\cdot\bigg[2y-\dfrac{y^2}{2}\bigg]_0^2=4\cdot(2-0)}\\\\=\mathsf{8}$

Conclusão: o valor da integral de linha é 8.

Bons estudos! :D

Equipe Brainly