Question

Determine a inclinação da reta tangente À curva da função f(x)=x³ no ponto x=2. Calcule f(2)

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a inclinação - declividade - da reta tangente ao gráfico da referida função polinomial do segundo grau pelo ponto de tangência cuja abscissa é "3" é:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \theta \cong 85,23^{\circ}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

               $\Large\begin{cases} f(x) = x^{3} \\x_{T} = 2\end{cases}$

Sabemos que a inclinação - declividade -  de uma reta é sempre o ângulo com o qual a reta forma com o eixo das abscissas no seu sentido positivo. Desta forma, para calcularmos a medida deste ângulo devemos calcular a medida do arco cuja tangente vale o coeficiente angular da reta, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \theta = \arctan(m_{r})\end{gathered}$

Sabendo que o coeficiente angular também pode ser representado como sendo o valor numérico da derivada primeira da função no ponto de abscissa "x", então, podemos reescrever a equação "I" como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \theta = \arctan(f'(x_{T}))\end{gathered}$

Expandindo, resolvendo e simplificando a equação "II", temos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \theta = \arctan(f'(x_{T}))\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arctan(3\cdot1\cdot2^{3 - 1})\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arctan(3\cdot2^2)\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arctan(3\cdot4)\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arctan(12)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \cong 85,23^{\circ}\end{gathered}$

✅ Portanto, a inclinação procurada é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \theta \cong 85.23^{\circ}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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