Question

determine a geratriz 1,33333333333333333

Answer 1

Vou resolver de duas formas:

1ª usando a soma dos termos de uma PG infinita. ✅

2ª usando equação de 1º grau✅

$\mathsf{1^{\underline{a}}~forma:}$

1,333... =1+(0,3...+0,03....+0,003....)

$\mathsf{a_{1}=\dfrac{3}{10}}\\\mathsf{a_{2}=\dfrac{3}{100}}\\\mathsf{q=\dfrac{\frac{3}{100}}{\frac{3}{10}}=\dfrac{1}{10}}$

$\underline{ \mathsf{Soma\,dos\,termos\,de\,uma\,P.G\,infinita:} }\\\large \boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S_{n}=\dfrac{a_{1}}{1-q}}}}}}$

$\mathsf{S_{n}=\dfrac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}}\\\mathsf{S_{n}=\dfrac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}}}\\\mathsf{S_{n}=\dfrac{3\div3}{9\div3}}$

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S_{n}=\dfrac{1}{3}}}}}}$

Portanto

$\mathsf{1,333...=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}}$

$\dotfill$

$\mathsf{2^{\underline{a}}~forma:}$

representando por g a geratriz da dizíma procurada temos:

$\mathsf{g=1,333... \times10}\\\mathsf{10g=13,333....}$

$-\underline{\begin{cases}\mathsf{10g=13,333... }\\\mathsf{g=1,333... }\end{cases}}$

$\mathsf{9g=12}\\\mathsf{g=\dfrac{12\div3}{9\div3}}\\\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{g=\dfrac{4}{3}}}}}}$