Question

Determine a função y=y (x), sabendo que dy/dx= x³ + x²

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos determinar a função $y=y(x)$ sabendo que $\dfrac{dy}{dx}=x^3+x^2$.

Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Sua solução é a família de funções $y=y(x)$.

Então, integramos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$\displaystyle{\int \dfrac{dy}{dx}\,dx=\int x^3+x^2\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int dy=\int x^3+x^2\,dx}$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.

Aplique a regra da soma e reescreva $\displaystyle{\int dy=\int 1\,dy=\int y^0\,dy}$

$\displaystyle{\int y^0\,dy=\int x^3\,dx+\int x^2\,dx}$

Aplique a regra da potência

$\dfrac{y^{0+1}}{0+1}+C_1=\dfrac{x^{3+1}}{3+1}+\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+C_2$

Some os valores nos expoentes e denominadores

$\dfrac{y^1}{1}+C_1+\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}+C_2\\\\\\ y+C_1+\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}+C_2$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da igualdade e considere $C_2-C_1=C$, uma constante arbitrária.

$y=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}+C_2-C_1\\\\\\ y(x)=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}+C,~C\in\mathbb{R}$

Esta é a família de equações que é solução desta equação diferencial ordinária.