Question

Determine a função y = f(x) tal que f(y) = 1 e que que goza da seguinte propriedade: o coeficiente angular da reta tangente no ponto de abscissa x é igual ao produto das coordenadas de ponto de tangência.

Answer 1

coeficiente angular (a) da reta tangente ao gráfico da função y é a derivada de y (y')
então a=y'
mas, o coeficiente angular é o produto das coordenadas do ponto de tangência (x,y). Então, a=xy
logo, y'=xy
dy/dx = xy
∫(1/y)(dy/dx)dx=∫xdx
∫(1/y)dy=∫xdx
ln|y|+constante 1=(x^2)/2 + constante 2
constante 2 - constante 1= constante 3= c
ln|y|=(x^2)/2 +c
|y|=e^((x^2)/2) +c
y=e^((x^2)/2) +c ou y=-e^((x^2)/2) -c
como f(1)=1
então, 1=e^((1^2)/2) +c 
c=1-e^(1/2)
ou 1=-e^((x^2)/2) -c
-c=1+e^(1/2)
c=1-e^(1/2)
logo, y=e^((x^2)/2) +1-e^(1/2)
ou y=-e^((x^2)/2) +1+e^(1/2)