Question

Determine a função representada pelo gráfico e calcule f(5):

Answer 1

Para essa análise temos várias possibilidades, só lembrando de algumas regras.

Observando o gráfico percebemos que a parábola tem concavidade para baixo, isso significa que existe um sinal negativo na frente do x.
Analisando ainda mais, observamos que quando y= 0, x assume dois valores, -1 e 3, que são as raízes da função.

Podemos construir da seguinte forma a equação.

y = -(x+1) . (x-3)
y = -x²+2x+3
f(5) = -5²+2.5+3 = -12

Answer 2

Você pode usar a forma canônica da função quadrática, assim só precisará encontrar o coeficiente a da função ax²+bx+c.

Primeiro, a forma canônica é da pela expressão:

$f(x) = a(x-h) ^{2} + k$

onde h e k são os pontos do vértice da parábola que na questão são V(1,4), então h = 1 e k = 4. Logo, substituímos esses valores na expressão:

$f(x) = a(x-1)^{2} + 4$

E para encontrar o coeficiente a basta usarmos um outro ponto que pertence à parábola, por exemplo, o ponto (3,0) que eu vou chamar de P.
Logo P(3,0) --> f(3) = 0, pois f(x) = y.

Então resolvemos a expressão da forma canônica para f(3) = 0. Que vai ficar:

$f(3) = a(3-1) ^{2} + 4 = 0 \\ f(3) = a(2)^{2} + 4 = 0 \\ a = \frac{-4}{4} = -1$

Logo, para encontrarmos f(5) basta usar a função encontrada:

$f(5) = -1(5-1)^{2} + 4 = -12$