Question

Determine a função que corresponde ao gráfico abaixo.

Answer 1

Vemos que o gráfico da função é uma senoide, de forma que podemos escrever a função dessa forma:

$f(x)=A\,\mathrm{sen}\left(\frac{2\pi}{T}\,x \right)+k$


onde $A,$ $T$ e $k$ são constantes a determinar.


Basicamente, $T$ é o período da função e $A$ é a amplitude de variação.


$\bullet\;\;$ Analisando o gráfico, vemos que o período da função é $T=\frac{2\pi}{3}.$ Logo,

$T=\frac{2\pi}{3}\\ \\ \Rightarrow\;\;\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{(\frac{2\pi}{3})}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;\dfrac{2\pi}{T}=2\pi\cdot \dfrac{3}{2\pi}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;\dfrac{2\pi}{T}=3$


Então, temos

$f(x)=A\,\mathrm{sen}\left(3x \right)+k$


$\bullet\;\;f(0)=0\\ \\ A\,\mathrm{sen}\left(0 \right)+k=0\\ \\ k=0\\ \\ \\ \bullet\;\;f(\frac{\pi}{6})=-2\\ \\ A\,\mathrm{sen}\left(3\cdot \frac{\pi}{6}\right)=-2\\ \\ A\,\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2\\ \\ A\cdot 1=-2\\ \\ A=-2$


Assim, uma expressão para função é

$f(x)=-2\,\mathrm{sen}\left(3x \right )$