Question

Determine a função derivada para cada função abaixo:
a) h(t) = (t+4)/(t-4)
b) y = 5.e-0,2t

Answer 1

$\orange{\boxed{\sf\green{\boxed{\red{\boxed{\sf a)h(t) = \frac{t+4}{t-4}}}}}}}$

Para resolver esse item a), vamos usar a regra do quociente, dada por:

$\boxed{\blue{\boxed{\purple{\boxed{ \sf\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'.g-f.g'}{g {}^{2} }}}}}}$

• Se você bem observar essa regra é aplicada quando temos duas funções sendo divididas, portanto temos que:

$\sf (t+4) \rightarrow f , \:\: \: (t-4) \rightarrow g$

Aplicando a regra:

$\sf \left(\frac{t + 4}{t - 4}\right)' = \frac{(t + 4)'.(t - 4) - (t + 4).(t - 4)'}{(t -4) {}^{2} }$

Lembre-se que a derivada de um valor constante é "0", ou seja, a derivada de -4/+4 será 0, já a derivada de "t" será "1", pois derivadas de "x", "y", "z"...., qualquer "incógnita" que apresente o expoente igual a "1" possuirá o valor igual a "1".

$\sf \sf \left(\frac{t + 4}{t - 4}\right)' = \frac{1.(t - 4) - (t + 4).1}{(t - 4) {}^{2} } \\ \\ \sf \sf \left(\frac{t + 4}{t - 4}\right)' = \frac{t - 4 - t - 4}{(t - 4) {}^{2} } \\ \\ \sf \boxed{ \sf \left(\frac{t + 4}{t - 4}\right)' = \frac{ - 8}{(t - 4) {}^{2} } }$

b) $\orange{\boxed{\sf\green{\boxed{\red{\boxed{\sf y = 5.e^{-0,2t}}}}}}}$

Para o item b), basta aplicar a regra da derivação para "e" na "u", dada por:

$\boxed{\blue{\boxed{\purple{\boxed{( \sf e {}^{u} )' = e {}^{u}.u '}}}}}$

Aplicando:

Para resolver essa derivada, use mesmo princípio de cálculo do item "a".

$\sf y = 5e {}^{-0,2t } \\ \sf y' = 5e {}^{ -0,2t} .( -0,2t)' \\ \sf y' =5e {}^{-0,2t }.[ 1.( - 0,2t {}^{1 - 1} )] \\ \sf y' = 5e {}^{-0,2t }.[1.( -0,2t {}^{0}) ] \\ \sf y' = 5e {}^{-0,2t }.[ 1(-0,2t .1)] \\ \sf y' = 5e {}^{-0,2t }.( -0,2) \\ \sf y = e {}^{-0,2t }.5.(-0,2) \\ \boxed{\sf y' = - e {}^{-0,2t } }$

Espero ter ajudado