Determine a fração geratriz na forma reduzida, que representa as dízimas periódias 0,2555..., e 3,1222...
Soluções para a tarefa
Resposta:
23/90 é a fração geratriz do número 0,25555... .
281/90 é a fração geratriz do número 3,1222... .
Explicação passo-a-passo:
Trata-se de uma dízima periódica! E para transforma-la em fração é necessário conhecer sobre a fração geratriz. Veja:
Fração geratriz é aquela que quando dividimos seu numerador pelo denominador, o resultado será uma dízima periódica (número decimal periódico).
Os números decimais periódicos apresentam um ou mais algarismos que se repetem infinitamente. Esse algarismo ou algarismos que se repetem representam o período do número.
Quando o parte decimal é composta apenas pelo período, a dizima é classificada como simples. Já quando além do período existir, na parte decimal, algarismos que não se repetem, a dízima será composta.
Cálculo da fração geratriz :
Encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica muitas vezes é necessário para que possamos efetuar cálculos, por exemplo, em expressões numéricas.
Para descobrir a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos seguir os seguintes passos:
- 1º passo: Igualar a dízima periódica a uma incógnita, por exemplo x, de forma a escrever uma equação do 1º grau.
- 2º passo: Multiplicar ambos os lados da equação por um múltiplo de 10. Para descobrir qual será o múltiplo, devemos identificar quantos casas decimais devemos "andar" para que o período fique antes da vírgula.
- 3º passo: Diminuir a equação encontrada da equação inicial.
- 4º passo: Isolar a incógnita.
Calculando:
I.
algarismo que não se repete: 2
algarismo que repete: 5
Repetição após o algarismo 2, desta forma o múltiplo de dez terá 1 zero :
10 × x = 0,2555... × 10
10x = 2,5555... (equação 1)
Isolar os números até iniciar a repetição. Após o primeiro 5, desta forma o múltiplo de dez terá 2 zeros :
100 × x = 0,2555... × 100
100x = 25,5555... (equação 2)
Subtraindo equação 2 da equação 1, temos:
100x = 25,5555... (equação 2)
- 10x = 2,5555... (equação 1)
90x = 23
x= 23/90
Portanto, 23/90 é a fração geratriz do número 0,25555... .
II.
algarismos que não se repetem: 3 e 1
algarismo que repete: 2
3,1222...
Aplicando a mesma metodologia, temos:
10 × x = 3,1222... × 10
10x = 31,2222... (equação 1)
100 × x = 3,1222... × 100
100x = 312,2222... (equação 2)
Subtraindo a equação 2 pela equação 1, temos:
100x = 312,2222... (equação 2)
- 10x = 31,2222... (equação 1)
90x = 281
x = 281/90
Portanto, 281/90 é a fração geratriz do número 3,1222... .
Bons estudos e até a próxima!
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