Question

Determine a fração geratriz da dizima: 3,411111

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Helpme, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar qual é a fração geratriz da dízima periódica abaixo:

3,411111....

ii) Veja: há um método bem simples e seguro pra você encontra a fração geratriz de qualquer que seja a dízima periódica.
Esse método se resume no seguinte: primeiro você iguala a dízima periódica a um certo "x". Depois multiplica por uma ou mais potências de "10". E após algumas operacionalizações você faz com que desapareça o período (o período em dízimas periódicas é aquela parte que se repete. Daí o nome: dízima periódica). Então vamos aplicar esse método. Primeiro vamos igualar a dízima periódica da sua questão a um certo "x". Assim, teremos:

x = 3,411111......

Vamos multiplicar essa dízima periódica por "100" e depois a mesma dízima periódica será multiplicada por "10". Assim, faremos:

100*x = 100*3,411111.....
100x = 341,111111......

Vamos também multiplicar o "x' por "10", ficando:

10*x = 10*3,411111....
10x = 34,11111.....

Agora vamos subtrair "10x" de "100x" e você vai ver que teremos feito desaparecer o período. E é isso mesmo o que queremos para determinarmos qual é a fração geratriz. Então vamos fazer essa subtração:

100x = 341,11111....
- 10x = - 34,11111......
-------------------------------------- subtraindo membro a membro, teremos:
90x = 307,000000..... --- ou, o que dá no mesmo:
90x = 307 <---- veja que o período desapareceu. Então agora é só isolar "x" e teremos a fração geratriz pedida. Logo:

90x = 307
x = 307/90 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a fração geratriz da dízima periódica da sua questão (3,41111......). E note que a fração "307/90" já está na sua forma irredutível, pois não dá pra simplificar numerador e denominador por um mesmo número.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.