Question

Determine a forma algébrica dos quocientes seguintes:


a) 3-7i / 3+4i
b) 1-2i / 2+i
c) 1 / 3-i
d) 2i / 1-i
e) 4+i / 4-i
f) 6 / 5i

Answer 1

Todas são da mesma natureza
O procedimento de solução e o mesmo
Vou fazer duas
Com essa base os outros levam poucos minutos

a)
        multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador

                     $\frac{3-7i}{3+4i} \\ \\ = \frac{(3-7i)(3 - 4i)}{(3+4i)(3-4i)} \\ \\ = \frac{9-12i-21i+28i^2}{9-16i^2} \\ \\ = \frac{9-33i-28}{9+16} \\ \\ = \frac{-19-33i}{25} \\ \\ =- \frac{19}{25} - \frac{33}{25}$

f)
       multiplicar numerador e denominador pelo denominador

                     $\frac{6}{5i} \\ \\ = \frac{6x5i}{(5i)^2} \\ \\ = \frac{30i}{25i^2} \\ \\ = \frac{30i}{-25} \\ \\ = -\frac{6}{5} i$

Answer 2

a) (-19 - 33i)/25

b) (-2 - 5i)/5

c) (3 + i)/10

d) i - 1

e) (15 + 8i)/17

f) - 6i/5

a) 3 - 7i =

   3 + 4i

(3 - 7i) . (3 - 4i) = 9 - 12i - 21i + 28i² = 9 - 33i + 28i²

(3 + 4i)  (3 - 4i)           3² - (4i)²                9 - 16i²

Como i² = - 1, temos:

9 - 33i + 28(-1) = 9 - 33i - 28 = - 19 - 33i

    9 - 16(-1)             9 + 16              25

b) 1 - 2i

   2 + i

(1 - 2i) . (2 - i) = 2 - i - 4i + 4i² = 2 - 5i + 4i²

(2 + i)    (2 - i)         2² - i²              4 - i²

Como i² = - 1, temos:

2 - 5i + 4(-1) = 2 - 5i - 4 = - 2 - 5i

   4 - (-1)             4 + 1            5

c)  1  

  3 - i

(  1  ) . (3 + i) = 3 + i = 3 + i

(3 - i)  (3 + i)    3² - i²    9 - i²

Como i² = - 1, temos:

 3 + i   = 3 + i = 3 + i

9 - (-1)    9 + 1      10

d) 2i

   1 - i

(  2i  ) . (1 + i) = 2i + 2i² = 2i + 2i²

(1 - i)    (1 + i)    1² - i²         1 - i²

Como i² = - 1, temos:

2i + 2(-1) = 2i - 2 = 2i - 2 = i - 1

 1 - (-1)        1 + 1        2

e) 4 + i

   4 - i

(4 + i) . (4 + i) = 16 + 4i + 4i + i² = 16 + 8i + i²

(4 - i)    (4 + i)         4² - i²                 16 - i²

Como i² = - 1, temos:

16 + 8i + (-1) = 16 + 8i - 1 = 15 + 8i

   16 - (-1)           16 + 1            17

f) 6

   5i

6 . 5i = 30i

5i   5i    25i²

 30i   = 30i = - 6i

25(-1)   - 25       5

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