Question

Determine a expressão P sabendo que:

a)log P=2.log a+5.log b
b)logx P=logx a-1/2.logx b

Answer 1

a)

$logP=2.loga+5.logb\\ logP=loga^2+logb^5\\ logP=loga^2b^5\\ P=a^2b^5$

b)

$log_xP=log_xa-\frac{1}{2}.log_xb\\\\ log_xP=log_xa-log_xb^{\frac{1}{2}}\\\\ log_xP=log_xa-log_x \sqrt{b} \\\\ log_xP=log_x\frac{a}{\sqrt{b}} \\\\ \boxed{P=\frac{a}{\sqrt{b}}}\\\\ ou\\\\ P=\frac{a.\sqrt{b}}{\sqrt{b}.\sqrt{b}}\\\\ \boxed{P=\frac{a.\sqrt{b}}{b}}$

Answer 2

A expressão P em cada caso é:

a) P = a²·b⁵

b) P = (a·√b)/b

Logaritmos

Pela definição de logaritmo, sabemos que a base do logaritmo elevado ao resultado do mesmo é igual ao logaritmando, ou seja:

logₐ x = b

aᵇ = x

As principais propriedades do logaritmo são:

• Logaritmo do produto

logₐ x·y = logₐ x + logₐ y

• Logaritmo de um quociente

logₐ x/y = logₐ x - logₐ y

• Logaritmo de uma potência

logₐ x^y = y · logₐ x

Para responder essa questão, devemos encontrar a expressão P em cada caso:

a) $log\ P = 2\cdot log\ a+5\cdot log\ b$

Utilizando o logaritmo da potência, escrevemos:

$log\ P = log\ a^2+log\ b^5$

Utilizando o logaritmo do produto, escrevemos:

$log\ P = log\ a^2\cdot b^5$

Portanto, temos $P=a^2\cdot b^5$.

b) $log_x\ P = log_x\ a-\frac{1}{2}\cdot log_x\ b$

Utilizando o logaritmo da potência, escrevemos:

$log_x\ P = log_x\ a- log_x\ b^{\frac{1}{2}}\\ log_x\ P = log_x\ a- log_x\ \sqrt{b}}$

Utilizando o logaritmo do quociente, escrevemos:

$log_x\ P = log\ \frac{a}{\sqrt{b}}$

Portanto, temos:

$P = \dfrac{a}{\sqrt{b}}\\ P = \dfrac{a}{\sqrt{b}} \cdot \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}\\ P=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}$

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