Question

Determine a expressão da derivada y' para a função y=f(x) dada implicitamente pela expressão x³+y³-3axy=0 (considere a uma constante).

Answer 1

É dada a seguinte expressão:

$x^3 + y^3 - 3axy = 0$

Derivando a equação dos dois lados em relação a x:

$x^3 + y^3 - 3axy = 0\\\\ (x^3 + y^3 - 3axy)' = (0)'\\\\ (x^3)' + (y^3)' - (3axy)' = 0\\\\ 3x^2+3y^2\cdot y' - 3a\cdot[(x)'\cdot y+x\cdot (y)'] = 0\\\\ 3x^2+3y^2y'-3a(y+xy') = 0\\\\ 3y^2y'-3axy' = -3x^2+3ay\\\\ 3(y^2-ax)y' = 3(-x^2+ay)\\\\ y' = \dfrac{-x^2+ay}{y^2-ax}\\\\ \boxed{y' = \dfrac{ay-x^2}{y^2-ax}}$