Question

determine a expressão da derivada y'=dy/dx para a função y=f(x) dada implicitamente pela expressão y+ln(x²+y²)=4

Answer 1

Sendo y uma função de x, derivamos a expressão usando a Regra da Cadeia, combinada com as outras regras de derivação.

Observe

$\mathtt{y+\ell n(x^2+y^2)=4}$


Derivando os dois lados em relação a x,

$\mathtt{\big(y+\ell n(x^2+y^2)\big)'=(4)'}\\\\ \mathtt{y'+\dfrac{1}{x^2+y^2}\cdot (x^2+y^2)'=0}\\\\\\ \mathtt{y'+\dfrac{1}{x^2+y^2}\cdot (2x+2y\cdot y')=0}\\\\\\ \mathtt{y'+\dfrac{2x+2y\cdot y'}{x^2+y^2}=0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{y'\cdot (x^2+y^2)}{x^2+y^2}+\dfrac{2x+2y\cdot y'}{x^2+y^2}=0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{y'\cdot (x^2+y^2)+2x+2y\cdot y'}{x^2+y^2}=0}$

$\mathtt{\dfrac{y'\cdot (x^2+y^2)+y'\cdot 2y+2x}{x^2+y^2}=0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{y'\cdot (x^2+y^2+2y)+2x}{x^2+y^2}=0}$


Como x² + y² > 0, podemos multiplicar os dois lados da igualdade acima por (x² + y²), ficando apenas com

$\mathtt{y'\cdot (x^2+y^2+2y)+2x=0}\\\\ \mathtt{y'\cdot (x^2+y^2+2y)=-2x}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{y'=-\,\dfrac{2x}{x^2+y^2+2y}} \end{array}}~~~~~~\texttt{para }\mathtt{x^2+y^2+2y \ne 0}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)