Question

Determine a equação vetorial do plano que passa pelo ponto P=(2,3,6) determinado pelos vetores u=(5,0,−2) e v=(4,6,2).

Answer 1

A equação vetorial do plano tem sua forma geral dada por:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + h(ux, uy, uz) + t(vx, vy, vz)

onde:

(x0, y0, z0) é um ponto pertencente ao plano;

(ux, uy, uz) e (vx, vy, vz) são vetores diretores do plano;

h e t são constantes reais;

As constantes são determinadas arbitrariamente para descobrir outros pontos que pertencem ao plano. Substituindo os valores, a equação vetorial deste plano é:

(x, y, z) = (2, 3, 6) + h(5, 0, -2) + t(4, 6, 2)

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que uma das possíveis equações vetoriais do plano  "π" é:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf pi: (x, y, z) = (2, 3, 6) + \lambda(5, 0, -2) + \gamma(4, 6, 2)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

          $\Large\begin{cases} P = (2, 3, 6)\\\vec{u} = (5, 0, -2)\\\vec{v} = (4, 6, 2)\end{cases}$

Deduzindo a fórmula da equação vetorial do plano temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \overrightarrow{PO} = \lambda\vec{u} + \gamma\vec{v}\end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} O - P = \lambda\vec{u} + \gamma\vec{v}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\begin{gathered} O = P+ \lambda\vec{u} + \gamma\vec{v},\:\:\:\forall \lambda,\:\gamma\in\mathbb{R}\:\:\:e\:\:\vec{u}\neq\vec{0}\:\:e\:\:\vec{v}\neq\vec{0}\end{gathered}$

Substituindo os valores na equação "II", temos:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x, y, z) = (2, 3, 6) + \lambda(5, 0, -2) + \gamma(4, 6, 2)\end{gathered}$

✅ Portanto, uma das equações vetoriais é:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\pi: (x, y, z) = (2, 3, 6) + \lambda(5, 0, -2) + \gamma(4, 6, 2)\end{gathered}$

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