Question

Determine a equação segmentária dos seguintes casos
A ) a (-1,3), b (-2,0)
B) a (2,3), b (-2,1)

Answer 1

Podemos obter a equação geral da reta pela condição de alinhamento de três pontos, usando o cálculo do determinante. Assim,

$\left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{array}\right] =0$

nos dá dois pontos da reta: (x₁, y₁) e (x₂, y₂). Substituindo esses dois pontos pelos pontos da equação da reta procurada, calculamos a equação geral da reta.

A) (-1,3) e (-2,0)

$\left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\ -1&3&1\\ -2&0&1\end{array}\right] = 0 \Rightarrow \\\\\\ \Rightarrow x(3\cdot \:1-1\cdot \:0) - y(\left(-1\right)\cdot \:1-1\cdot \left(-2\right)) + 1(\left(-1\right)\cdot \:0-3\left(-2\right))=0\\\\ \Rightarrow x\cdot \:3-y\cdot \:1+1\cdot \:6 = 0\\\\ \Rightarrow 3x-y+6 = 0$


Agora, temos a situação 

$ax + by + c = 0 \Rightarrow ax + by = -c\\\\ \dfrac{ax}{-c} + \dfrac{by}{-c} = \dfrac{-c}{-c} \Rightarrow \dfrac{ax}{-c} + \dfrac{by}{-c} = 1\;\;\;ou\;\;\; \dfrac{x}{ \frac{-c}{a} } + \dfrac{y}{ \frac{-c}{b} } = 1$


Procedemos assim, 

$3x-y + 6 = 0 \Rightarrow 3x-y = -6\Rightarrow\\\\\\ \dfrac{3x}{-6} - \dfrac{y}{-6} = \dfrac{-6}{-6} \Rightarrow \dfrac{3x}{-6} - \dfrac{y}{-6} = 1 \Rightarrow\\\\\\ \Rightarrow \dfrac{x}{ \frac{-6}{3} } + \dfrac{y}{6} = 1 \Rightarrow \framebox[1.1\width]{ \dfrac{x}{-2} + \dfrac{y}{6} = 1 }$



B) (2,3) e (-2,1)

$\left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\2&3&1\\-2&1&1\end{array}\right] = 0 \Rightarrow\\\\\\ x(3\cdot \:1-1\cdot \:1) -y(2\cdot \:1-1\cdot \left(-2\right)) + 1(2\cdot \:1-3\left(-2\right)) = 0\Rightarrow\\\\\\ \Rightarrow 2x-4y+8 = 0$


Da equação geral, encontramos a segmentária

$2x-4y + 8 = 0 \Rightarrow 2x-4y = -8\Rightarrow\\\\\\ \dfrac{2x}{-8} - \dfrac{4y}{-8} = \dfrac{-8}{-8} \Rightarrow \dfrac{\not{2}x}{-\not{8}} - \dfrac{\not{4}y}{-\not{8}} = 1 \Rightarrow\\\\\\ \Rightarrow \framebox[1.1\width]{ \dfrac{x}{-4} + \dfrac{y}{2} = 1 }$