Question

determine a equação reduzida reta que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A(1,3) e B(6,0) e que é perpendicular à reta r: y=x-3

Answer 1

A equação reduzida da reta é dada pelo modelo:

$\boxed{y~=~y_o~+~m\cdot(x-x_o)}$

No modelo, (x,y) e (xo,yo) são pontos da reta e "m" seu coeficiente angular.

Vamos então começar determinando o ponto médio do segmento AB:

$\left(x_{_M}~,~y_{_M}\right)~=~\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~,~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\\\\\\\left(x_{_M}~,~y_{_M}\right)~=~\left(\dfrac{1+6}{2}~,~\dfrac{3+0}{2}\right)\\\\\\\left(x_{_M}~,~y_{_M}\right)~=~\left(\dfrac{7}{2}~,~\dfrac{3}{2}\right)\\\\\\\boxed{\left(x_{_M}~,~y_{_M}\right)~=~\left(3,5~,~1,5\right)}$

Como dito no texto, a reta de interesse é perpendicular a reta "r" e, para que isso seja verdade, teremos a seguinte relação entre seus coeficientes angulares:

$\boxed{m~=\,-\dfrac{1}{\,m_{r}}}$

Podemos ver que o coeficiente angular mr da reta "r", coeficiente que multiplica "x", vale 1, logo:

$m~=\,-\dfrac{1}{1}\\\\\\\boxed{m~=\,-1}$

Com o valor de um dos pontos e do coeficiente angular, podemos "montar" a equação da reta de interesse.

$\left(x_o~,~y_o\right)~=~\left(x_{_M}~,~y_{_M}\right)~=~\left(3,5~,~1,5\right)\\\\\\m~=\,-1\\\\\\Substituindo~no~modelo:\\\\\\y~=~1,5~+~(-1)\cdot(x-3,5)\\\\\\y~=~1,5~-~x~+~3,5\\\\\\\boxed{y~=\,-x~+~5}$