Question

determine a equação reduzida e a equação geral da circunferência com o centro no ponto C (2,2) e qye passa pelo ponto A (1,1)

Answer 1

Primeiramente, vamos entender como é a EQUAÇÃO REDUZIDA E A EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA.

EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA: 

(x - a)² + (y - b)² = R²

Para obter a EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA, basta fazermos algumas modificações na EQUAÇÃO REDUZIDA: 

(x - a)² + (y - b)² = R² 
x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = R²
x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² = R²

x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - R² = 0 (equação geral da circunferência)

[RESOLUÇÃO] Agora, vamos resolver o problema a partir dos dados fornecidos. Perceba que está faltando o RAIO da circunferência, aonde o mesmo será importante para completar as equações. Para obtê-lo, basta utilizarmos a equação da DISTÂNCIA DE DOIS PONTOS lá da geometria analítica. Perceba: 

Dc,a (distância do ponto C até o ponto A) = √(Xc - Xa)² + (Yc - Ya)²
Dc,a = √(2 - 1)² + (2 - 1)² 
Dc,a = √1² + 1²
Dc,a = √1 + 1 
Dc,a = √2

Perceba que a distância entre o centro C e o ponto A corresponde à medida do raio, então, tendo obtido o raio, podemos determinar as equações. 

EQUAÇÃO REDUZIDA:

(x - a)² + (y - b)² = R² 
(x - 2)² + (y - 2)² = √2²
(x - 2)² + (y - 2)² = 2

EQUAÇÃO GERAL: 

(x - 2)² + (y - 2)² = 2
x² - 4x + 4 + y² - 4y + 4 = 2
x² - 4x + 4 + y² - 4y + 4 - 2 = 0
x² + y² - 4x - 4y + 6 = 0

Perceba que para obter a EQUAÇÃO GERAL tivemos que desenvolver toda a EQUAÇÃO REDUZIDA até chegar a GERAL.