Question

Determine a equação reduzida da reta tangente al gráfico da função g(x) = −3x

2 − 5x no

ponto de abcissa −2.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de equações de retas tangentes e derivação.

Buscamos a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função $g(x)=-3x^2-5x$ no ponto de abscissa $x=-2$.

Seja uma curva $\mathcal{C}$ dada pelo gráfico de uma função $f(x)$, contínua e derivável no ponto $(x_0,~y_0)$. A equação da reta tangente à curva neste ponto é calculada pela fórmula: $y-y_0=f'(x_0)\cdot(x-x_0)$.

Primeiro, determinamos a ordenada $y_0$, substituindo $x=-2$ na equação da curva:

$y_0=-3\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$y_0=-3\cdot4+10\\\\\\ y_0=-12+10\\\\\\ y_0=-2$

Então, calcule a derivada da função:

$(g(x))'=(-3x^2-5x)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da soma

$g'(x)=(-3x^2)'-(5x)'$

Aplique a regra da constante

$g'(x)=-3\cdot(x^2)'-5\cdot(x)'$

Aplique a regra da potência, lembrando que $x=x^1$

$g'(x)=-3\cdot2\cdot x^{2-1}-5\cdot1\cdot x^{1-1}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos. Lembre-se que $x^0=1$.

$g'(x)=-3\cdot2\cdot x^1-5\cdot1\cdot x^0\\\\\\ g'(x)=-6x-5$

Calcule o valor da derivada da função no ponto $x=-2$

$g'(-2)=-6\cdot(-2)-5$

Multiplique e some os valores

$g'(-2)=12-5\\\\\\ g'(-2)=7$

Por fim, substitua os resultados encontrados da fórmula da equação da reta tangente:

$y-(-2)=7\cdot(x-(-2))$

Efetue as propriedades de sinal e distributiva da multiplicação

$y+2=7\cdot(x+2)\\\\\\ y+2=7x+14$

Subtraia $2$ em ambos os lados da igualdade

$y=7x+12$

Essa é a equação reduzida da reta tangente à curva no ponto desejado.